Гаусов сноп

В оптиката, Гаусов сноп е сноп от електромагнитно лъчение, чието напречно разпределение на електричното поле и интензитета се описват от Гаусова функция. Много лазери излъчват снопове с Гаусов профил. В този случай казваме, че лазерът генерира основен (фундаментален) напречен мод или „TEM₀₀ мод“ на лазерния оптичен резонатор. Когато Гаусов сноп с дадени параметри премине през леща, той се преобразува отново в Гаусов сноп, но с други параметри. От всички видове снопове генерирани от лазерите Гаусовият сноп има най-малка разходимост. Това обяснява неговата популярност в лазерната физика и техника.

Математическата функция, която описва Гаусовия сноп е решение на параксиалната форма на уравнението на Хелмхолц. Решението във форма на Гаусова функция описва комплексната форма на електричното поле, което заедно с магнитното поле се разпространява във вид на електромагнитна вълна формираща лазерния сноп.

Математична форма

За Гаусов сноп коплексната амплитуда на електричното поле се дава от

$E(r,z)=E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\exp \left(-ikz-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}+i\zeta (z)\right)\,$

където

$r$ е радиалното разстояние от центъра на снопа,

$z$ е аксиалното разстояние от точката, където снопът е най-тесен (шийката на снопа),

$i$ е имагинерна единица (за която $i^{2}=-1$),

$k={2\pi \over \lambda }$ е вълново число на разпространение на светлината в свободното простраство (в радиан/метър),

$E_{0}=|E(0,0)|$,

$w(z)$ е радиусът, при който амплитудата на полето пада до ниво 1/e, а на интензитета до ниво 1/e² считано от техните величини на оста на снопа в точката z.

$w_{0}=w(0)$ е радиусът на шийката, при който амплитудата на полето пада до ниво 1/e, а на интензитета до ниво 1/e², считано от техните величини на оста на снопа в точката z = 0 (вижте обясненията по-долу).

Функциите $w(z)$, $R(z)$, и $\zeta (z)$ са параметри на снопа, които ще опишем по-долу.

Пространственото разпределение на усреднения по времето интензитет е

$I(r,z)={\frac {\epsilon _{0}cn}{2}}|E(r,z)|^{2}=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\,$

където $I_{0}=I(0,0)$ е интензитетът в центъра на шийката на снопа, n е показател на пречупване, за свободно пространство n=1.$\,\varepsilon _{0}$ е диелектричната проницаемост на вакуума.

Параметри на снопа

Поведението на Гаусовия сноп се дава от набор параметри на снопа, които са определени в параграфа по долу.

Радиус на снопа

За Гаусов сноп, разпространяващ се в свободното пространство, радиусът на снопа w(z) ще има минимална величина w₀ в една точка на лазерния сноп известна като шийка на снопа. За сноп от лъчение с дължина на вълната λ на разстояние z от шийката по посока на разпространение на снопа промяната на радиуса на снопа се дава от

$w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{R}}}\right)}^{2}}}\$

където началото на оста z e взето да съвпада с мястото на шийката, и където

$z_{R}={\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}$

се нарича Релеева дължина.

Релеева дължина и конфокален параметър

На разстояние от шийката равно на една релеева дължина z_R в двете посоки, радиусът w и диаметърът 2wна снопа са ${\sqrt {2}}\$ пъти по големи:

$w(\pm z_{R})=w_{0}{\sqrt {2}}\,$

Разстоянието между тези две точки от двете страни на шийката, където снопът е с два пъти по-голямо сечение се нарича конфокален параметър или дълбочина на фокусирането на снопа:

$b=2z_{R}={\frac {2\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}\$

Радиус на кривина на фазовия фронт

R(z) е радиусът на кривина на фазовия фронт на снопа. Неговата величина като функция от позицията z е:

$R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{R}}{z}}\right)}^{2}}\right]\$

Както се вижда от формулата, радиусът на кривина на фазовия фронт е безкрайност при z = 0 и z = ∞ и има минимална величина при z = z_R

$R(z=z_{R})=2z_{R}\$

Разходимост на снопа

Параметърът $w(z)$ може да се апроксимира с права линия когато сме в „далечното поле“, т. е когато $z\gg z_{R}$. Ъгълът между правата линия и оста на снопа се нарича разходимост на снопа. Разходимостта се дава от формулата:

$\theta \simeq {\frac {\lambda }{\pi w_{0}}}\qquad (\theta \mathrm {\ in\ radians.} )$

Тази формула показва, че колкото е по-малка дължината на вълната, толкова е по-малка разходимостта на този сноп. От друга страна снопове с по-малка разходимост могат да бъдат фокусирани в по-малко петънце. Това е причината за големия интерес към сините лазери, с които може да се записва по-голям обем информация.

Пълната разходимост определя ъгловия диапазон, в който се разпространява снопа далече от шийката и е два пъти по-голяма от определената от горната формула

$\Theta =2\theta \$

Заради разходимостта, Гаусовият лазерен сноп когато е фокусиран в малко петно се разширява след това в голям ъглов диапазон. За да бъде лазерният сноп колимиран на голямо разстояние неговият диаметър трябва да е голям.

Тъй като Гаусовият модел е валиден само в параксиално приближение, той не може да се приложи когато фазовия фронт е наклонен на ъгъл по-голям от 30⁰ отчитано от оста на снопа . От горния израз следва, че Гаусовият модел е валиден за снопове с шийки по-големи от 2λ/π.

Качество на лазерния сноп

Качеството на лазерния сноп се дава от така наречения М² метод. М² е пропорционално на разходимостта на снопа по радиуса на неговата шийка $w_{0}$. Отношението на М² на реален сноп към М² на идеален Гаусов сноп на същата дължина на вълната е количествена характеристика на качеството на снопа. М² на идеален Гаусов сноп е 1. Всички реални лазерни снопове имат М² > 1, най-качествените снопове обаче, като тези получавани от He-Ne лазери имат големина на М² близка до едно.

Фаза на Гуи

Надлъжното фазово закъснение или Фазата на Гуи на даден Гаусов сноп е

$\zeta (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{R}}}\right)\$

Комплексен параметър за описание на Гаусов сноп

Видяхме, че Гаусовия сноп в точката z се описва от два параметъра: радиуса w(z) и радиуса на кривината на фазовия фронт R(z). Удобно е тези два параметъра да се обединят в един коплексен параметър q(z), който се задава по следния начин:

${1 \over q(z)}={1 \over R(z)}-i{\lambda \over \pi w^{2}(z)}$

Комплексният параметър q(z) играе важна роля при анализа на разпространението на Гаусови снопове през оптични системи и специално при анализа на лазерни оптични резонатори с помощта на апарата на матричната оптика.

Използвайки Гаусовия комплексен параметър q(z) едномерното Гаусово поле се представя по този начин:

${u}(x,z)={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\right)$.

Двумерното Гаусово поле което обхваща и случая на елиптични Гаусови снопове се описва от произведението:

${u}(x,y,z)={u}(x,z)\,{u}(y,z)$,

В случая на най-често използвания Гаусов сноп с кръгова симетрия, където е валидно q_x = q_x = q и x² + y² = r² за полето се получава

${u}(r,z)={\frac {1}{{q}(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2{q}(z)}}\right)$.

Интензитетът на такъв Гаусов сноп с кръгова симетрия се дава от: I(r,z) = I₀|u(r,z)|²

Мощност и интензитет

Мощност, преминаваща през диафрагма

Мощността P на лазерен Гаусов сноп преминаващ през кръгова центрирана диафрагма с радиус r намираща се в точката z е

$P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]\,$

където

$P_{0}={1 \over 2}\pi I_{0}w_{0}^{2}$

е пълната мощност на входния сноп. I₀ e пиковият интензитет на снопа в плоскостта на щийката.

За диафрагма с радиус $r=w(z)\,$, преминалата мощност е

${P(z) \over P_{0}}=1-e^{-2}\approx 0.865\$

Ако диафрагмата е с радиус $r=1.224\cdot w(z)\,$ близо 95% от входната мощност ще премине през нея.

Пиков и среден интензитет

Пиковият интензитет на разстояние z от шийката се пресмята като граница на отношението на падащата мощност и площ $\pi r^{2}$ при радиус r клонящ към нула.

$I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}.$

Получихме, че пиковият интензитет на Гаусов сноп е два пъти по-голям от средния интензитет I_av, който е равен на падащата мощност, разделена на площ с радиус $w(z)$.

$I_{av}={P_{0} \over \pi w^{2}(z)}.$

За по задълбочено изучаване

• Saleh, Bahaa E. A. and Teich, Malvin Carl. Fundamentals of Photonics. New York, John Wiley & Sons, 1991. ISBN 0-471-83965-5. Chapter 3, „Beam Optics“, pp. 80 – 107.
• Mandel, Leonard and Wolf, Emil. Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge, Cambridge University Press, 1995. ISBN 0-521-41711-2. Chapter 5, „Optical Beams“, pp. 267.
• Siegman, Anthony E. Lasers. University Science Books, 1986. ISBN 0-935702-11-3. Chapter 16.
• Yariv, Amnon. Quantum Electronics. 3rd Edition. Wiley, 1989. ISBN 0-471-60997-8.
• F. Pampaloni and J. Enderlein. Gaussian, Hermite-Gaussian, and Laguerre-Gaussian beams: A primer // arXiv:physics/0410021. 2004.

Външни препратки

• Gaussian Beam Propagation, Melles-Griot Архив на оригинала от 2008-09-16 в Wayback Machine.
• Gaussian Beam Optics Tutorial, Newport Архив на оригинала от 2012-02-08 в Wayback Machine.

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Gaussian beam в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​