Диаграма на Волперт – Смит

Диаграма на Во́лперт–Смит (кръгова диаграма на пълните съпротивления (КДПС), в англоезичната литература – диаграма на Смит, в японската – диаграма на Мидзухаши–Смит) е кръгова диаграма, предназначена за определяне на комплексните съпротивления на товара на линията чрез стойностите на коефициента на бягаща или стояща вълна и фазата на коефициента на отражение. Наречена е на името на американския инженер Филип Хагар Смит, който предлага диаграмата през 1939 г., и съветския инженер Амиел Рафаилович Волперт, който независимо я описва през 1940 г. Също през 1937 г. японският инженер Тосаку Мизухаши публикува статия , изобразяваща подобна диаграма. За практическа употреба диаграмата се произвежда в прозрачен пластмасов планшет; за по-лесно отчитане планшетът има въртяща се прозрачна линийка, чиято ос на въртене минава през центъра на диаграмата.

Кръгова диаграма на пълните съпротивления на Во́лперт–Смит

Описание на диаграмата

Кръговата диаграма се състои от два кръга – външен и вътрешен, вътре в които има две семейства ортогонални кръгове, съответстващи на геометричните места на точките на нормираните съпротивления
R / ρ = const и Х / ρ = const, където:

• R е активното съпротивление на товара в Ω;
• X – реактивното съпротивление, Ω;
• ρ – вълновото съпротивление на линията, Ω.

Използването на нормирани съпротивления прави възможно използването на диаграмата за измерване на пълни съпротивления, включени в предавателни линии с всякакво вълново съпротивление. Външната част на диаграмата има 5 концентрични окръжности, 3 от които са кръгови скàли: външна (втора), средна (четвърта) и вътрешна (пета).

• По външната се отчитат безразмерните стойности на съотношението ΔL / λ, пропорционални на фазовия ъгъл на коефициента на отражение, където ΔL е изместването на минимума на вълната при включен товар спрямо този при линия, съединена в края на късо. Ако това изместване се отчита в посока към генератора, величината му се брои по числените стойности, нанесени от външната страна на скалата по посока на часовниковата стрелка. Ако изместването се отчита в посока към товара, величината му се брои по числените стойности, нанесени от вътрешната страна на скалата в обратна посока на часовниковата стрелка.
• По средната кръгова скала в двете посоки са нанесени стойностите на фазовия ъгъл на коефициента на отражение от 0° до ±180°: по посока на часовниковата стрелка – отрицателните, в обратна посока на часовниковата стрелка – положителните.
• По вътрешната кръгова скала в пресечните точка на скалата с дъги с равни нормирани реактивни съпротивления, започващи от долната крайна точка на диаметъра, в двете посоки са нанесени стойностите на нормираното реактивно съпротивление Х / ρ : в дясната половина на диаграмата – положителни по посока на часовниковата стрелка, индуктивно реактивно съпротивление; в лявата половина – отрицателни обратно на часовниковата стрелка, капацитивно реактивно съпротивление; по диаметъра между двете половини Х / ρ = 0, чисто активно товарно съпротивление. Те се изменят от 0 в горната крайна точка на диаметъра (на фигурата – крайна лява) до ∞ в долната му крайна точка (на фигурата – крайна дясна). Така се изменят и стойностите на нормираното активно съпротивление R / ρ, но те се нанасят от горе надолу по диаметъра в точки, съответстващи на преминаващите през тях кръгове от равни нормирани активни съпротивления. Тези окръжности се допират вътрешно в долната крайна точка на диаметъра R / ρ = ∞. В центъра R / ρ = 1 и R = ρ. В точките по периферията, лежащи на вътрешната кръгова скала, R / ρ = 0 и товарното съпротивление е чисто реактивно.

Лявата част на фигурата показва нормираното съпротивление z на товара $Z_{L}$ на линията с вълново съпротивление ρ $=Z_{0}$. Коефициентът на отражение Γ е показан в дясната част на фигурата. При късо съединение z = 0 и Γ = –1 (лявата червена точка). При отворена линия в края z = ∞ и Γ = 1 (дясната червена точка). Реалните части на нормираното съпротивление R = Re(z) са представени със кръгове, а имагинерните части Х = Im(z) – със зелени криви, перпендикулярни към тях. При съгласуван товар $Z_{L}=R=Z_{0}$ → z = 0 и Г = 0 (централната червена точка). Точките Г = ±j съответстват на реактивен товар $Z_{L}=$ ±$jX=$ ± $jZ_{0}$

По линейната скала на въртящата се линийка от оста ѝ в центъра до вътрешната кръгова скала са нанесени стойностите на коефициентите на бягаща и стояща вълна:
KБВ = 1 ÷ 0 и КСВ = 1 ÷ ∞.

Работа с диаграмата

Импедансът се определя в следния ред. Измервателната линия (ИЛ) се свързва накъсо в края и при включен генератор се придвижва сондата до получаване на минимум на вълната, отчетен по уреда (амперметър или волтметър). По линийката на ИЛ се отчита разстоянието L₀, на което се получава минимумът. Изключва се късото съединение и се включва товарът, на който ще се измерва съпротивлението (антена или поглъщащ товар). По същия начин се намира най-близкото положение L₁ на изместения минимум при новия режим на работа и на още един негов съседен минимум L₂. По уреда се отчитат стойностите на минимум и максимум на тока I_min и I_max(или напрежението U_min и U_max). Изчисляват се изместването на минимума при включен товар ΔL = |L₁ – L₀|, дължината на вълната λ = 2.|L₂ – L₁|, отношението ΔL / λ и КСВ = I_max / I_min (или КБВ = I_min / I_max). Завърта се прозрачната въртяща се линийка на диаграмата, така че линията на скалата ѝ да показва по външната кръгова скала изчисленото отношение ΔL / λ. Завъртането е по посока на часовниковата стрелка, ако изместването на минимума ΔL при товар спрямо неговата позиция по време на късо съединение е към генератора, или обратно на часовниковата стрелка, ако изместването на минимума е към товара. Фиксира се неподвижно прозрачната линийка в това положение и по скалата ѝ се отчита стойността на изчисления КСВ (КБВ). Отбелязва се получената пресечна точка на диаграмата под линийката. По ортогоналните дъги на диаграмата, минаващи през точката се определят търсените съпротивления: по дъгата от точката към диаметъра по неговата скала си отчита нормираното активно съпротивление R / ρ; по дъгата от точката към периферията по вътрешната кръгова скала се отчита нормираното реактивно съпротивление X / ρ. Те се умножават по вълновото съпротивление на линията ρ и така се намират действителните стойности на товарното съпротивление R и X:

R = ρ.(R/ρ) [ Ω ] и
X = ρ.(Х/ρ) [ Ω ].

Обикновено вълновите съпротивления на използваните двупроводни, коаксиални и лентови линии са известни от типа на линията. Вълновото съпротивление на вълноводни линии може да се изчисли по различни формули. Например, за правоъгълен метален вълновод с въздушно запълване и вълнà тип Н₁₀ вълновото съпротивление е

$Z_{\mathrm {c,H10} }={\frac {120\pi }{\sqrt {1-{({\frac {\lambda }{2a}}})^{2}}}}$ ,

$a$ е дължина на широката страна на вълновода.

Комплексното товарно съпротивление на дългата линия е Z = R ± jX.

Конформно картографиране на импедансната равнина (z-равнина) в равнината на коефициента на отражение (r-равнина), която формира диаграмата на Волперт–Смит в единичен кръг

Преглед

Диаграмата на Волперт–Смит е математическа трансформация на двумерната декартова комплексна равнина. Комплексни числа с положителни реални части картографират вътре в кръга. Тези с отрицателни реални части се показват извън кръга. Ако се работа само с импеданси с неотрицателни резистивни (активни) компоненти, интересът е фокусиран върху областта вътре в кръга. Трансформацията за импедансна КДПС се изразява чрез коефициента на отражение:

$\Gamma ={\frac {Z-Z_{0}}{Z+Z_{0}}}={\frac {z-1}{z+1}},$

където $z={\frac {Z}{Z_{0}}},$ т.е. комплексният импеданс $Z,$ нормиран от референтния импеданс $Z_{0}$. Тогава КДПС е комплексна равнина (Гаусова равнина) от така трансформирани импеданси. Импедансите с неотрицателни резистивни компоненти ще се появят вътре в кръг с единичен радиус; началото ще съответства на референтния импеданс $Z_{0}$, който има смисъл на вълново съпротивление $Z_{0}=$ρ.

Приложения

Диаграмата на Волперт–Смит може да се използва за едновременно показване на множество параметри, включително импеданси, адмитанси, коефициенти на отражение, параметри на разсейване (елементи на матрицата на разсейване $S_{nn}\,$), кръгове на коефициента на шума, контури на постоянно усилване и региони за безусловна стабилност, включително анализ на механични вибрации. Кръговата диаграма се използва най-често в или в рамките на зоната на радиуса на единството. Въпреки това, останалата част все още е математически релевантна, като се използва, например, в дизайна на осцилаторите и анализа на устойчивостта

Мрежов анализатор (HP 8720A), показващ диаграмата на Волперт–Смит

Докато използването на хартиени кръгови диаграми за решаване на сложната математика, участваща в проблеми със съвпадението, е до голяма степен заменено от софтуерно базирани методи, диаграмата на Волперт–Смит все още е много полезен метод за показване как се държат радиочестотните параметри при една или повече честоти, алтернатива на използването на таблична информация. По този начин повечето софтуери за анализ на радиочестотни вериги включват опция за кръговата диаграма за показване на резултатите и всички, освен най-простите инструменти за измерване на импеданс, могат да начертаят измерените резултати на дисплей с диаграма на Волперт–Смит.

Литература

• 水橋東作. 四端子回路のインピーダンス変成と整合回路の理論 // 電気通信学会雑誌、1937. 第12号、P. 1053 – 1058. = Mizuhashi T. Theory of four-terminal impedance transformation circuit and matching circuit // The Journal of the Institute of Electrical Communication Engineers of Japan. December 1937. P.1053 – 1058.
• Smith P. H. Transmission Line Calculator // Electronics. Vol. 12, No. 1 (January 1939). P. 29 – 31.
• Вольперт А. Р. Номограмма для расчета длинных линий // Производственно-технический бюллетень НК.ЭП (Ленинград). 1940. № 2.
• Баскаков С. И. Радиотехнические цепи с распределенными параметрами. М: Высш. школа, 1980.
• Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники / Под. ред. Б. Х. Кривицкого: в 2 т. М: Энергия, 1977.
• Сазонов Д. М., Гридин А. М., Мишустин Б. А. Устройства СВЧ. М.: Высш. школа, 1981.

Външни препратки

• Амиел Рафаилович Волперт
• The Mizuhashi-Smith ChartАрхив на оригинала от 2013-03-03 в Wayback Machine.
• ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
• The Smith Chart
• The Smith ChartАрхив на оригинала от 2007-04-05 в Wayback Machine.
• Smith Diagram Software
• Программная реализация
• Java appletАрхив на оригинала от 2010-04-09 в Wayback Machine.