Векторно произведение

Векторното произведение на $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$

Векторното произведение на два вектора $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ е вектор, перпендикулярен на равнината, определена от векторите $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$, образува дясна тройка с тях и има дължина, равна на произведението от големините на двата вектора и синуса на ъгъла между тях:

$\Vert \mathbf {a} \times \mathbf {b} \Vert =\Vert \mathbf {a} \Vert \Vert \mathbf {b} \Vert \sin \sphericalangle (\mathbf {a} ;\ \mathbf {b} )$

Горната формула следва от равенството

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\Vert \mathbf {a} \Vert \Vert \mathbf {b} \Vert \sin \sphericalangle (\mathbf {a} ;\ \mathbf {b} )\mathbf {\hat {n}}$

където $\mathbf {\hat {n}}$ е единичният вектор с посока тази на $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$.

Ъгълът между два вектора приема стойности от $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$, следователно синусът му, а оттам – и дължината на векторното произведение са неотрицателни (т.е. дължината е коректно дефинирана).

Ако са нанесени векторите $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ с общо начало, то директрисата на вектора $(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$ минава през това начало и е перпендикулярна на равнината, образувана от $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$. Посоката на вектора се определя с правилото $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$ да образуват дясно ориентирана тройка вектори.

Когато $\mathbf {a} \parallel \mathbf {b}$, тогава $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0}$, а когато $\mathbf {a} \perp \mathbf {b}$, векторът $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ има максимална дължина

Аналитично представяне

Ако векторите $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ са зададени с координатите си $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})$ и $\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})$ в тримерното пространство и $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ са единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана координатна система, то:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{matrix}}\right)$.

По-подробно горната формула изглежда така: ${\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=\mathbf {i} \ \mathrm {det} \left({\begin{matrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{matrix}}\right)-\mathbf {j} \ \mathrm {det} \left({\begin{matrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{matrix}}\right)+\mathbf {k} \ \mathrm {det} \left({\begin{matrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{matrix}}\right)\\&=\mathbf {i} (a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})-\mathbf {j} (a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})+\mathbf {k} (a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\end{aligned}}$

Свойства

• Антикомутативност: $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a}$

Доказателство:

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=\mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{matrix}}\right)\\&=-\mathrm {det} \left({\begin{matrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \end{matrix}}\right)\\&=-\mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{matrix}}\right)\\&=-\mathbf {b} \times \mathbf {a} \end{aligned}}$

• Дистрибутивност: $(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} +\mathbf {b} \times \mathbf {c}$

Доказателство:

Тъй като $\mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1},\ a_{2}+b_{2},\ a_{3}+b_{3})$, то:

${\begin{aligned}(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\times \mathbf {c} &=\mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{a_{1}+b_{1}}&{a_{2}+b_{2}}&{a_{3}+b_{3}}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{matrix}}\right)\\&=\mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{matrix}}\right)+\mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{matrix}}\right)\\&=\mathbf {a} \times \mathbf {c} +\mathbf {b} \times \mathbf {c} \end{aligned}}$

• Линейност: $(\lambda \mathbf {a} )\times (\mu \mathbf {b} )=\lambda \mu (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$ за произволни реални числа $\lambda$ и $\mu$.

Доказателство:

Понеже $\lambda \mathbf {a} =(\lambda a_{1},\ \lambda a_{2},\ \lambda a_{3})$ и $\mu \mathbf {b} =(\mu b_{1},\ \mu b_{2},\ \mu b_{3})$, то:

${\begin{aligned}(\lambda \mathbf {a} )\times (\mu \mathbf {b} )&=\mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\\lambda a_{1}&\lambda a_{2}&\lambda a_{3}\\\mu b_{1}&\mu b_{2}&\mu b_{3}\end{matrix}}\right)\\&=\lambda \mu \ \mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{matrix}}\right)\\&=\lambda \mu (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\end{aligned}}$

• Ако $\mathbf {a} \parallel \mathbf {b}$, то $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0}$

Доказателство:

Щом $\mathbf {a} \parallel \mathbf {b}$, то $\sphericalangle (\mathbf {a} ,\ \mathbf {b} )=0^{\circ }$, откъдето следва, че

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\Vert \mathbf {a} \Vert \Vert \mathbf {b} \Vert \sin 0^{\circ }\ \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {0}$

Пресмятане на векторното произведение

Нека $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ са единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана координатна система. Тогава са в сила равенствата:

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {i} }}\times {\boldsymbol {\mathrm {j} }}={\boldsymbol {\mathrm {k} }}\\{\boldsymbol {\mathrm {j} }}\times {\boldsymbol {\mathrm {k} }}={\boldsymbol {\mathrm {i} }}\\{\boldsymbol {\mathrm {k} }}\times {\boldsymbol {\mathrm {i} }}={\boldsymbol {\mathrm {j} }}\end{aligned}}$.

Понеже векторното произведение е антикомутативно, то:

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {j} }}\times {\boldsymbol {\mathrm {i} }}=-{\boldsymbol {\mathrm {k} }}\\{\boldsymbol {\mathrm {k} }}\times {\boldsymbol {\mathrm {j} }}=-{\boldsymbol {\mathrm {i} }}\\{\boldsymbol {\mathrm {i} }}\times {\boldsymbol {\mathrm {k} }}=-{\boldsymbol {\mathrm {j} }}\end{aligned}}$.

Освен това лесно може да се покаже, че $\mathbf {i} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \times \mathbf {k} =\mathbf {0}$ (равенствата следват от антикомутативността на векторното произведение).

С помощта на тези равенства можем да изразим векторното произведение на векторите $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$. Понеже

${\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {i} &&+a_{2}\mathbf {j} &&+a_{3}\mathbf {k} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {i} &&+b_{2}\mathbf {j} &&+b_{3}\mathbf {k} \end{alignedat}}$

то векторното произведение $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ ще бъде равно на:

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&(a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} )\times (b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} )\\={}&a_{1}b_{1}(\mathbf {i} \times \mathbf {i} )+a_{1}b_{2}(\mathbf {i} \times \mathbf {j} )+a_{1}b_{3}(\mathbf {i} \times \mathbf {k} )+{}\\&a_{2}b_{1}(\mathbf {j} \times \mathbf {i} )+a_{2}b_{2}(\mathbf {j} \times \mathbf {j} )+a_{2}b_{3}(\mathbf {j} \times \mathbf {k} )+{}\\&a_{3}b_{1}(\mathbf {k} \times \mathbf {i} )+a_{3}b_{2}(\mathbf {k} \times \mathbf {j} )+a_{3}b_{3}(\mathbf {k} \times \mathbf {k} )\\={}&\ a_{1}b_{1}\mathbf {0} +a_{1}b_{2}\mathbf {k} -a_{1}b_{3}\mathbf {j} \ -\\&a_{2}b_{1}\mathbf {k} +a_{2}b_{2}\mathbf {0} +a_{2}b_{3}\mathbf {i} \ +\\&a_{3}b_{1}\mathbf {j} \ -a_{3}b_{2}\mathbf {i} \ +a_{3}b_{3}\mathbf {0} \\={}&(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} \\\end{aligned}}$

Геометрично тълкуване

Нека с $S$ бележим лицето на успоредника и нека $\theta$ е ъгълът, заключен между $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$. Тогава:

$S=\Vert \mathbf {a} \Vert \Vert \mathbf {b} \Vert \sin \theta =\Vert \mathbf {a} \times \mathbf {b} \Vert$

Приложение

• В аналитичната геометрия: Пресмятане на лице на успоредник и лице на триъгълник;
• В механиката: пресмятане на момент на сила, въртящ момент;
• В механиката на непрекъснатите среди (електро -, аеро - и хидродинамика): пресмятане на ротацията на векторно поле.