Нормална група

Нормална подгрупа, нормален делител или инвариантна подгрупа в теория на групите е подгрупа от специален тип, позволяваща факторизиране на групи. Нормалните групи дължат съществуването си на несъвпадането, в общия случай, на левите съседни класове на дадена група с десните съседни класове на групата. Пръв Галоа осъзнава значението на нормалните групи за теория на групите.

Определение

Една подгрупа $N\,$, на група $G\,$, се нарича нормална подгрупа, отбелязва се $N \trianglelefteq G, (N \triangleleft G, \text {ако} N \subsetneq G)$, ако всеки ляв съседен клас на $G\,$ по $N\,$ съвпада с някой десен съседен клас на $G\,$ по $N\,$, или в алгебричен запис:
$N \trianglelefteq G \iff \{aN \ | \ a \in G \} \subseteq \{Nb \ | \ b \in G \}$, което е еквивалентно на някое от следните три условия:

1. $gN = Ng, \ \forall g \in G$
2. $g^{-1}Ng = N, \ \forall g \in G$
3. $g^{-1}ng \in N, \ \forall n \in N, \ \forall g \in N$

Свойства

• Ядрото на хомоморфизъм на групи $\varphi : G \to H$ е нормална подгрупа на $G\,$.
• Всяка нормална подгрупа на дадена група се явява ядро на някой хомоморфизъм на групата. Нормалните групи изчерпват множеството от всички ядра на хомоморфизми на дадената група.
• Сечение на произволен брой нормални подгрупи на дадена група е също нормална подгрупа на групата.
• В абеловите групи всички подгрупи са нормални.

Литература

• Обрешков, Н. (1930), Висша алгебра, Том 1, София: Университетска библиотека N 93.
• Сидеров, Пл. и Чакърян, К. (2002), Записки по алгебра, групи, пръстени, полиноми, София: ВЕДИ.