Нормална група

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Нормална подгрупа, нормален делител или инвариантна подгрупа в теория на групите е подгрупа от специален тип, позволяваща факторизиране на групи. Нормалните групи дължат съществуването си на несъвпадането, в общия случай, на левите съседни класове на дадена група с десните съседни класове на групата. Пръв Галоа осъзнава значението на нормалните групи за теория на групите.

Определение[редактиране | edit source]

Една подгрупа N\,, на група G\,, се нарича нормална подгрупа, отбелязва се N \trianglelefteq G, (N \triangleleft G, \text {ако} N \subsetneq G), ако всеки ляв съседен клас на G\, по N\, съвпада с някой десен съседен клас на G\, по N\,, или в алгебричен запис:
N \trianglelefteq G \iff \{aN \ | \ a \in G \} \subseteq \{Nb \ | \ b \in G \}, което е еквивалентно на някое от следните три условия:

  1. gN = Ng, \ \forall g \in G
  2. g^{-1}Ng = N, \ \forall g \in G
  3. g^{-1}ng \in N, \ \forall n \in N, \ \forall g \in N

Свойства[редактиране | edit source]

  • Ядрото на хомоморфизъм на групи \varphi : G \to H е нормална подгрупа на G\,.
  • Всяка нормална подгрупа на дадена група се явява ядро на някой хомоморфизъм на групата. Нормалните групи изчерпват множеството от всички ядра на хомоморфизми на дадената група.
  • Сечение на произволен брой нормални подгрупи на дадена група е също нормална подгрупа на групата.
  • В абеловите групи всички подгрупи са нормални.

Литература[редактиране | edit source]