Диференчно уравнение

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Диференчното уравнение е апарат в математиката, който служи са изследване или описване на промяната на естествени явления по отношение на времето.

Класификация[редактиране | редактиране на кода]

Ако дадена популация притежава дискретни поколения, размерът на -то поколение е функция на -тото поколение. Такъв тип връзка се изразява чрез диференчното уравнение

където при зададена функция и неизвестни за ( е множеството на естествените числа) се нарича диференчно уравнение от i-ти ред. Когато уравнението е от вида

при

то се нар. линейно диференчно уравнение, като съответно при

  • се нар. линейно хомогенно диференчно уравнение,
  • се нар. линейно нехомогенно диференчно уравнение.

В зависимот от това дали коефициентите и дясната му част зависят или не от , то се нар. съответно уравнение с променливи или с постоянни коефициенти.


Употреба[редактиране | редактиране на кода]

Диференчните уравнения могат да се разглеждат като аналог на диференциалните и функционално-диференциалните уравнения или самостоятелно. Използват се за апроксимация на диференциални оператори, за решаване на математически задачи с рекурентни зависимости, при построяване на различни дискретни модели в биологията, екологията, физиката, техниката и икономиката.

Диференчните уравнения могат да възникнат по много начини. Те могат да бъдат

В някои биологични ситуации растежът на популаията е непрекъснат процес и поколенията се препокриват, докато в други растежът на популацията заема място в дискретни интервали от време и поколенията са напълно непрепокриващи се. Някои от най-простите подобни нелинейни диференчни уравнения показват забележителен спектър на динамичното поведение. Тази богата динамична структура е разгледана в общоприетите линеализирани и устойчиви анализи. Нейното съществуване в най-простите и напълно определени нелинейни ("зависещи от гъстотата") диференчни уравнения са обект на значителен математически и екологичен интерес.

Диференчните уравнения без отклонение във времето водят до много проста динамика, докато тези със отклонения във времето относно регулаторните механизми, могат да имат сложни динамични структури, които са обект на дискусии в математиката.

Крайните диференчни неравенства за функция на една или две променливи, чрез които се получават оценки имат фундаментална роля в изучаването на ограниченост, единственост на решението, непрекъсната зависимост от началните условия и др. на решенията на диференчните уравнения.

Диференчни уравнения с максимуми[редактиране | редактиране на кода]

Специален вид диференчни уравнения е този, който включва максимума на изучаваната функция върху отминал интервал от време. В резултат на това тези уравнения имат важна роля в теорията на диференчните уравнения и се наричат диференчни уравнения с максимуми. Операторът на максимума възниква естествено в някои модели, които се използват в автоматичния контрол. Диференчните уравнения с максимуми не са добре изучени все още. В общия случай те се характеризират от две основни части

  • пъра част - диференчното уравнения,
  • втора част - максимума на неизвестната функция.

Втората част разширява значително сферата на диференчните уравнения с максимуми на неизвестната функция , поради факта, че нейният максимум може да бъде взет

  • върху интервал с фиксирана дължина , където и е множеството на целите числа от до , включително;
  • върху интервал с променлива дължина , където и е множеството на целите числа от до , включително;
  • върху няколко интервала с фиксирана или променлива дължина.

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. Agarwal R., Difference Equations and Inequalities: Theory, Methods and Applications, CRC Press, 2000.
  2. Elaydi S., Introduction to Difference Equations and Inequalities: Theory, Methods and Applications, CRC Press, 2000.
  3. Бояджиев Д., Гочева-Илива С., Попова Л., Ръководство по числени методи II част, Деметра ЕООД, София, 2012, ISBN 978-954-9526-79-0