Нютонов бином

Биномната теорема е математическа теорема за разлагането на двучлен, повдигнат на степен.

Опростената форма на теоремата за естествени стойности на степента е:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}$

където n е естествено число и

${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$

са биномните коефициенти, а $n!$ е факториел на n.

Тази формула обикновено е приписвана на Блез Паскал, който я описва през 17 век. Всъщност тя е известна още на китайския математик Ян Хуй през 13 век, на иранския математик Омар Хаям през 11 век и дори на индийския математик Пингала през 3 век пр.н.е. Исак Нютон прави важно обобщение на формулата за произволна степен:

${(x+y)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{k}y^{r-k}}$

където r е произволно комплексно число и коефициентите се получават с

${r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n),$

като по определение k! е факториелът на k, и 0! = 1.

Формули за съкратено умножение

Формулите за съкратено умножение са биноми повдигнати на дадена степен като тяхното решаване става по посочените горе математически формули.

Формула от вида (а+b)⁵

Директно решение: (a+b)⁵=(a+b)³.(a+b)²= (a³ + 3a²b + 3ab² + b³).(a² + 2ab + b²)= a⁵ + 2a⁴b + a³b² + 3a⁴b + 6a³b² + 3a³b³ + 3a³b² + 6a²b³ +3ab⁴ + a²b³ + 2ab⁴ + b⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ +5ab⁴ + b⁵.

Решение с използването на Нютоновия бином:

$(a+b)^{5}=\sum _{i=0}^{5}{5 \choose i}a^{i}b^{5-i}=$

$={5 \choose 0}a^{0}b^{5-0}+{5 \choose 1}a^{1}b^{5-1}+{5 \choose 2}a^{2}b^{5-2}+{5 \choose 3}a^{3}b^{5-3}+{5 \choose 4}a^{4}b^{5-4}+{5 \choose 5}a^{5}b^{5-5}=$

$=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}\,$

т.е. същата формула, но по много по-лесен начин.

$n \choose k$ е комбинация на k между n елемента, т.е. ${n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}$, например, ${5 \choose 3}={5! \over 3!2!}=10$

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Binomial theorem в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​