Правоъгълен триъгълник

Правоъгълен триъгълник е вид триъгълник, на който един от ъглите е прав (90°).

Най-дългата страна в триъгълника е тази, която лежи срещу правия ъгъл и се нарича хипотенуза. Другите две страни се наричат катети.

• ВС – катет
• АВ – катет
• АС – хипотенуза

Зависимостта между дължините на трите страни в правоъгълен триъгълник се изразява с Питагоровата теорема. Отношението на дължините на които и да е две страни се изразява с тригонометрична функция.

Свойства

• Питагорова теорема: Сумата от квадратите на дължините на катетите е равна на квадрата от дължината на хипотенузата

$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$.

• Обратна теорема на Питагоровата теорема: Ако сумата от квадратите на дължините на две страни на триъгълник е равна на квадрата от дължината на третата страна, то триъгълникът е правоъгълен.

• Дължината на медианата към хипотенузата е равна на 1/2 от дължината на хипотенузата.

Медиана към хипотенузата

Това лесно се доказва с помощта на насочени отсечки (фиг.2)

Ако разгледаме насочените отсечки ${\vec {AB}},{\vec {BC}},{\vec {AM}}$,

то за триъгълника АМС е изпълнено: ${\vec {AM}}={\vec {AB}}+{\vec {BC}}/2\,$  ,

а за триъгълника АВС е изпълнено:   ${\vec {BC}}={\vec {BA}}+{\vec {AC}}\,$,  

откъдето следва, че:  

${\vec {AM}}=({\vec {AB}}+{\vec {AC}})/2\,$, тъй като ${\vec {BA}}=-{\vec {AB}}$

Ако повдигнем двете страни на квадрат, ще получим :     AM ² = (AB ² + AC ²)/4 (произведението на перпендикулярни вектори е 0).

От Питагоровата теорема знаем, че за триъгълника ABC е в сила равенството:  BC ² = AB ² + AC ²,

откъдето следва, че:   AM = BC / 2.

• Лицето на правоъгълен триъгълник е равно на 1/2 от произведението на дължините на катетите.

• Теорема на Талес: Центърът на описаната около правоъгълен триъгълник окръжност лежи на хипотенузата.
• Ако един от острите ъгли е равен на 30 градуса, то катета, лежащ срещу този ъгъл, е равен на 1/2 от хипотенузата.

Вижте също

• Триъгълник
• Питагорова теорема
• Тригонометрична функция