Условна вероятност

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Условна вероятност е вероятността за настъпване на събитието А, при условие, че В е настъпило. Означава се с P(A|B) и се чете "Условна вероятност на събитието А по отношение на събитието В" [1].

Определение[редактиране | edit source]

Математическото определение за условна вероятност се записва по следния начин:

\Pr(A \mid B) = \frac{\Pr(A \cap B)}{\Pr(B)},\Pr(B)>0.

Където \Pr(A \cap B) е общата вероятност двете събития да са се сбъднали, а Pr(B) e вероятността да се е сбъднало събитието В без оглед на другите обстоятелства.

Трябва да се отбележи, че в горните определения не се въвеждат никакви времеви причинно-следствени връзка между събитията А и В. Както А може да предхожда В, така и обратно.

Въвеждането на условности във вероятностите се осъществява с теоремата на Бейс.

Независимост на две събития[редактиране | edit source]

Две събития A,B \in\mathfrak{A} се наричат независими, тогава и само тогава, когато:

\Pr(A \cap B) = \Pr(A) \Pr(B).

От математическото определение на условните вероятности очевидно следва, че:

\Pr(A|B) \ = \ \Pr(A)

и

\Pr(B|A) \ = \ \Pr(B).

Следствия[редактиране | edit source]

За две независими събития A,B \in\mathfrak{A} е в сила:

1. A^c e независимо от B.
2. A e независимо от B^c.
3. A^c e независимо от B^c.

Независимост на \sigma-Алгебри[редактиране | edit source]

Две \sigma-Алгебри \mathfrak{A}_1,\mathfrak{A}_2\in\mathfrak{A} се наричат независими ,тогава и само тогава, когато:

\forall A_1\in\mathfrak{A}_1,\forall A_2\in\mathfrak{A}_2: Събитие A_1 е независимо от събитие A_2.

Допълнителни формули[редактиране | edit source]

1.\Pr(A) = \Pr(A|B)\Pr(B)+\Pr(A|B^c)\Pr(B^c).
2.\Pr(A_1\cap ....\cap A_n)=\Pr(A_1)\Pr(A_2|A_1)...\Pr(A_n|A_1\cap A_2 \cap...\cap A_{n-1}).
3.\forall A,B\in\mathfrak{A},\Pr(A)>0,\Pr(B)>0 :
\Pr(A|B) = \frac{\Pr(B | A) \Pr(A)}{\Pr(B)}. (Формула на Бейс)

Примери[редактиране | edit source]

1. Нека разгледаме най-простия пример:този на еднократно хвърления зар. Дадено е вероятностно пространство (\Omega,\mathfrak{A},\Pr),където \Omega=\left\{1,2,...,6 \right\},\mathfrak{A}=\left\{\empty,\Omega,	\left\{2,4,6 \right\},	\left\{ 1,3,5 \right\}\right\},\Pr\left\{i\right\}=\frac{1}{6}. Интересува ни каква е вероятността да сме хвърлили двойка при положение, че знаем че хвърления зар е четен.

В случая {A}=\left\{2\right\},{B}=\left\{2,4,6\right\}. Тогава:
\Pr(A \mid B) = \frac{\Pr(A \cap B)}{\Pr(B)}= \frac{\Pr(	\left\{ 2 \right\} \cap 	\left\{ 2,4,6\right\})}{\Pr(	\left\{ 2,4,6 \right\})}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}.

Източници[редактиране | edit source]

  1. Серафимов, Д. и съавт., Четиризначни математически таблици и формули, изд. Регалия 6, 2003. ISBN 9548147122

Външни препратки[редактиране | edit source]