Функция на Грийн

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В математиката функция на Грийн (по името на Джордж Грийн (1793-1841), английски математик) е функция, която се използва за решаване на нехомогенни диференциални уравнения при определени (зададени) гранични условия. Функцията се използва за преобразуване на частното диференциално уравнение в интегрално уравнение. Тя се получава от линейна задача с гранични стойности и представлява основната връзка между диференциалната и интегрална формулировки. Функцията се използва във физиката и по-специално в квантовата теория на полето, както и в електротехниката за задачи свързани с електромагнитното поле.

Функцията на Грийн осигурява метод за преформулиране на израза за източник (нехомогенността) от диференциалното уравнение:

.

където е линеен (диференциален) оператор - например , а е неизвестната функция (величина). Например ако е дадена задачата на Дирихле:

в област

на границата на областта : ,

то тя се преформулира по следния начин:

където е сочещата навън от граничната повърхност нормала, е обема на източника, a е функцията на Грийн. Както се вижда ако функцията е известна ще се получи и решение за . Задачата се предефинира като намиране на Грийн функцията за конкретния случай. Дефинира се функция, която удовлетворява равенството:

,

където и са векторите на местоположението на точките на търсената величина (x,y,z) и съответно на източника (x',y',z'), a е делта функцията на Дирак (импулсна функция), която изчезва (приема стойност нула) при и удовлетворява равенството:


Функция на Грийн в свободното пространство
Операторно уравнение Уравнение на Лаплас Квазистационарно уравнение на Хелмхолц Вълново уравнение на Хелмхолц
Решение
Област
Едномерна няма решение за (-∞,∞)
Двумерна
Тримерна
Вълновото уравнение има времеви множител , такъв, че

Виж още[редактиране | редактиране на кода]

Теореми на Грийн

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  • Matthew N. O. Sadiku, Ph.D.. Numerical Techniques in Electromagnetics. CRC Press, 2001.