В математиката, функция на Грийн (по името на Джордж Грийн (1793 – 1841), английски математик) е функция, която се използва за решаване на нехомогенни диференциални уравнения при определени (зададени) гранични условия. Функцията се използва за преобразуване на частното диференциално уравнение в интегрално уравнение. Тя се получава от линейна задача с гранични стойности и представлява основната връзка между диференциалната и интегрална формулировки. Функцията се използва във физиката и по-специално в квантовата теория на полето, както и в електротехниката за задачи свързани с електромагнитното поле.
Функцията на Грийн осигурява метод за преформулиране на израза за източник (нехомогенността)
от диференциалното уравнение:
.
където
е линеен (диференциален) оператор – например
, а
е неизвестната функция (величина). Например ако е дадена задачата на Дирихле:
в област
на границата на областта
:
,
то тя се преформулира по следния начин:
където
е сочещата навън от граничната повърхност
нормала,
е обема на източника, a
е функцията на Грийн. Както се вижда ако функцията
е известна ще се получи и решение за
. Задачата се предефинира като намиране на Грийн функцията за конкретния случай. Дефинира се функция, която удовлетворява равенството:
,
където
и
са векторите на местоположението на точките на търсената величина (x,y,z) и съответно на източника (x',y',z'), a
е делта-функцията на Дирак (импулсна функция), която изчезва (приема стойност нула) при
и удовлетворява равенството:
Функция на Грийн в свободното пространство
Операторно уравнение |
Уравнение на Лаплас |
Квазистационарно уравнение на Хелмхолц |
Вълново уравнение на Хелмхолц
|
Решение |
![{\displaystyle \nabla ^{2}G=\delta (\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0428e9e314a62d1491abd5376ca50b0f6748397) |
![{\displaystyle \nabla ^{2}G+k^{2}G=\delta (\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/734b186cf4dda996e9916c51dccd109b5afa0a81) |
|
Област |
![{\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81fce6374911a8d89e74bf10a63e45cbbcfff49) |
![{\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81fce6374911a8d89e74bf10a63e45cbbcfff49) |
|
Едномерна |
няма решение за (-∞,∞) |
![{\displaystyle -{\frac {j}{2k}}exp(jk|x-x'|)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37636a5cc005c14527222a9f04788adb53c81068) |
|
Двумерна |
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}ln|\rho -\rho '|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eecbde3d8804dddb396db198af447339e474659d) |
![{\displaystyle -{\frac {j}{4}}H_{0}^{(1)}(k|\rho -\rho '|)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca688243efd8fa7c9d5d4e9dadb282035a674195) |
|
Тримерна |
![{\displaystyle -{\frac {1}{4\pi (\mathbf {r} -\mathbf {r'} )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029197b3d0d33aea85570d46eb1ccc651f0a20e1) |
![{\displaystyle -{\frac {exp(jk|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |)}{4\pi (\mathbf {r} -\mathbf {r'} )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f75402e11ed61643efabc562ba87818470906f6) |
|
Вълновото уравнение има времеви множител
, такъв, че
.
- Matthew N. O. Sadiku, Ph.D. Numerical Techniques in Electromagnetics. CRC Press, 2001.