Плътност на тока

Схема на връзката между електрически ток и плътност на тока

Плътност на тока на проводимостта е електричен ток, който преминава през единица напречно сечение, перпендикулярно на него.. Плътността на тока е векторна величина.

Математическа обосновка на понятието

Локалната плътност на електрическия ток в точка $M$ в една среда с обемна плътност $n$ и заряд на токовите носители $q$ е

${\vec {j}}=nq{\vec {v}}$, където

${\vec {j}}$ е плътността на електрическия ток в т. $M$;

${\vec {v}}$ е скоростта на насоченото движение (на дрейфа) на токовите носители.

В сложни системи когато разглежданата среда има няколко вида токоносители (напр. в плазма или електролити), то плътността на тока се изразява като сума от плътностите на всички видове подвижни токоносители.

${\vec {j}}=\sum _{i}n_{i}q_{i}{\vec {v}}_{i},$

където

векторът на плътността на тока е сума от плътностите на токоносителите, където

$n_{i}\,\!$ – е концентрация частици от всеки тип,

$q_{i}\,\!$ – заряда на частиците от дадения вид,

${\vec {v}}_{i}$ – вектор на средната скорост на частиците от всеки тип.

${\vec {j}}$ е тангенциален на токовите линии във всяка точка. Плътността на тока може да се оразмери и със зависимостта:

$j={\mathrm {d} I \over \mathrm {d} S}$, където

$\mathrm {d} I$ е големината на тока през определената елементарна повърхност

$\mathrm {d} S$ е елементарната повърхност нормална на токовите линии в т. $M$

В SI плътността $j$ се измерва в ампери на квадратен метър (A m^-2).

Плътността на тока като векторна величина, може да се представи и чрез закона на Ом. В линейна и изотропна проводяща среда плътността на тока е зависима от проводимостта и интензитета (напрегнатостта) на електрическото поле.

${\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}$

където $\sigma \$ — специфична електропроводимост на проводящата среда, ${\vec {E}}$ – интензитета на електрическото поле,

или

${\vec {j}}={\frac {1}{\rho }}{\vec {E}},$

където $\rho \$ – специфично електрическо съпротивление.

Електрически ток

В най-общия случай електрическият ток през повърхността ${\vec {S}}$ е равен на потока на плътността на тока през тази повърхност

$I=\int \int _{S}{\vec {j}}\;\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}$

Принципът за запазване на заряда позволява да се установи връзка между плътността на тока и зарядите в дадена точка, зависимост известна като релация на непрекъснатостта или запазване на заряда.

${\vec {\nabla }}.{\vec {j}}=-{\frac {\partial \mathbf {\rho } }{\partial t}}$

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\ .{\vec {j}}=0\,$

В тази формула $\rho$ е специфичното електрическо съпротивление, определяно от

$\rho ={E \over j}$, където

$E$ е интензитетът на електрическото поле (измерено във волт на метър, (V/m))

$j$ е плътността на тока (измерена в ампер на квадратен метър, (A/m²))

От горните формули е видна връзката между двата параметъра – плътност на тока и специфично съпротивление. Съществува обратна пропорционалност, т.е. в тоководещата среда плътността на тока ще се увеличава при отрицателна промяна (когато се намалява) специфичното съпротивление (измервано с кулон на кубичен метър).

В стационарен режим

${\vec {\nabla }}.{\vec {j}}=0$,

чрез което може да се изрази факта, че големината на тока се запазва по дължината на токопроводимата среда.