Булева алгебра

Булевата алгебра (или алгебра на съжденията) е специална алгебрична структура, която съдържа логическите оператори И, ИЛИ, НЕ, както и множествените функции сечение, обединение, допълнение. Тя е дефинирана за първи път от ирландския математик Джордж Бул (1815-1864) през 19 век, с цел да се използват алгебрични методи в логиката. Булевата алгебра и булевите операции стоят в основата на информатиката, програмирането и функционирането на компютърните системи, тъй като компютрите са програмирани да извършват точно тези логически операции. Операторите се срещат често написани по различен начин, напр. И, ИЛИ, НЕ (англ. AND, OR, NOT); ∧, ∨, ¬; математиците често използват + за ИЛИ, · за И и черта над символа за НЕ. Тук са използвани логическите символи ∧, ∨ и ¬.

Дефиниция

Булева алгебра е множество S с дефинирани функции Λ(конюнкция И), V (дизюнкция ИЛИ) и ¬ (отрицание НЕ).

Булева алгебра с два елемента X1 X2

Теорията се базира на действия над "съждения", които се интерпретират само или като верни или като неверни.

Съждението:

„2 по 2 е равно на четири" е истинно. В булевата алгебра се отбелязва, че верността му е 1.

Съждението:

„Желязото е карбонат“ е лъжовно. В булевата алгебра се отбелязва, че верността му е 0.

При съставянето на сложни съждения се използват логическите операции „и“ (конюнкция), „или“ (дизюнкция), „не“ (отрицание), „следва“ (импликация). Най-висок приоритет има отрицанието, следвано от конюнкцията и дизюнкцията. Изразите в тази алгебра се наричат булеви изрази.

Операциите са дефинират, както следва:

конюнкция Λ 0 1 0 0 0 1 0 1

дизюнкция v 0 1 0 0 1 1 1 1

отрицание   ¬ 0 1 1 0

импликация –> 0 1 0 1 1 1 0 1

Тази алгебра намира приложение в логиката, където 0 се интерпретира като „невярно“, а 1 като „вярно“. Изрази в тази алгебра се наричат булеви изрази.

Външни препратки

• Добър самоучител по двузначна логика с решени задачи