Бройна система

Бройната система представлява символен метод за представяне на числата посредством ограничен брой (набор) символи, наречени цифри. Съществуват два вида бройни системи - непозиционни и позиционни.

Непозиционни бройни системи

Непозиционните бройни системи са тези, при които стойността на цифрата най-общо не зависи от нейното място (позиция) в записа на числото. Такива бройни системи са римската, гръцката, милетската бройна система и др.

В римската бройна система използваните цифри са М (1000), D (500), C (100), L (50), X (10), V (5), I (1). Там действа правилото: Когато тези цифри са написани в намаляващ ред на стойностите им, те се събират, а когато по-малък числов знак стои пред по-голям, те се изваждат - например VI = 5 + 1 = 6, IV = 5 - 1 = 4.

Гръцката бройна система, използвана главно за практически задачи, е десетична система с групиране по петици. Степените на 10 се означават с началните букви на съответните гръцки думи, като единиците се посочват с чертички, а групирането в петици се означава с буквата Γ пред числото. Например

ΓΔ = 50, ΓH = 500, ΓX = 5000, ΓM = 50 000.

Милетската бройна система е била предназначена за научни пресмятания и за означаване на цифрите са използвани 24 гръцки и 3 еврейски букви.

където Q^k и Q^−k са теглата на съответните цифри, a — тяхната позиция в записа на числото.

Позиционни бройни системи

Позиционните бройни системи са тези, при които стойността на цифрата зависи от нейното място (позиция) в записа на числото, като тя се умножава с т.нар. тегловен коефициент. Той представлява основата на бройната система (например 2, 10 или 16), повдигната на различна степен: нула – за най-младшия разряд, единица за следващия и т.н. – степента нараства с единица за всеки следващ по-старши разряд („наляво“). При дробната част на числото (ако има такава) степента на нейния най-старши разряд (първият след запетаята) е -1, като аналогично на цялата част от числото, нараства по модул с единица (намалява с -1) в посока по-младшите разряди („надясно“).

Десетичната бройна система е позиционна бройна система с целочислена основа десет.

Преобразуване

Всяко число може да бъде преобразувано от една бройна система в друга.

Двоична <--> десетична

I начин - стандартен

Пример: Имаме числото 101011 в двоична бройна система. За да го превърнем в десетична бройна система, трябва да сумираме тегловните коефициенти, умножени по цифрата на съответната позиция.

$101011=1*2^{5}+0*2^{4}+1*2^{3}+0*2^{2}+1*2^{1}+1*2^{0}=43$

II начин - опростен

Пример: Имаме числото 101011 в двоична бройна система. За да го превърнем в десетична бройна система, сумираме само тегловните коефициенти, съдържащи единица.

$101011=2^{0}+2^{1}+2^{3}+2^{5}=1+2+8+32=43$

Десетична -> двоична

За да превърнем число от десетична в двоична бройна система, трябва да го разделяме на 2, докато частното стане нула като записваме остатъците вдясно (ако числото не може да се дели на 2, записваме единица, а ако може - нула).
Пример: Преобразуване на 87 от десетична в двоична бройна система.

• 87:2=43 => 1
• 43:2=21 => 1
• 21:2=10 => 1
• 10:2=5 => 0
• 5:2=2 => 1
• 2:2=1 => 0
• 1:2=0 => 1

След това, за да получим двоичното число, вземаме получените единици и нули, като резултатът от последното деление става най-старшият разряд на двоичното число, съответно - резултатът от първото деление - най-младшият: на числото 87 в десетична бройна система съответства 1010111 в двоична.

За да получим двоичен еквивалент на десетична дроб, последователно умножаваме по основата на бройната система (в случая 2) до достигане на желаната точност. При всяко умножаване цялата част на получения резултат е съответен разряд от двоичния еквивалент. В някои случаи точна десетична дроб не може да се получи и е налице остатък. В този случаи дробта се закръгля според изискваната от конкретния случай точност (максимално допустимата за случая грешка).

Пример : 0,386

• 0,386*2 = 0,772 => 0
• 0,772*2 = 1,544 => 1 (изваждаме единица)
• 0,544*2 = 1,088 => 1 (изваждаме единица)
• 0,088*2 = 0,176 => 0
• 0,176*2 = 0,352 => 0
• 0,352*2 = 0,704 => 0
• 0,704*2 = 1,408 => 1 (изваждаме единица)
• 0,408*2 = 0.816 => 0

За да получим числото, вземаме цялата част от всеки отговор от горе на долу и за числото 0,386 в десетична бройна система получаваме (с точност до осмия знак след запетаята) 0,01100010 в двоична.

Двоична <--> шестнадесетична и обратно

Най-лесно практически се осъществява чрез следната таблица за съответствие, използваща т.нар. тетради (четирицифрени двоични числа):

0000 - 0

0001 - 1

0010 - 2

0011 - 3

0100 - 4

0101 - 5

0110 - 6

0111 - 7

1000 - 8

1001 - 9

1010 - A

1011 - B

1100 - C

1101 - D

1110 - E

1111 - F

Пример : 0011101001110010₍₂₎

• Разделяме числото от най-младшия разряд към най-старшия ("от дясно наляво") на тетради (полубайтове - четири бита) и според таблицата на съответствие между двете броични системи получаваме 0011|1010|0111|0010 = 3A72. В случай, когато броят двоични цифри не е кратен на четири, за практическо удобство двоичното число се допълва откъм най-старшата цифра/бит ("отляво") с необходимия брой нули.

Двоичната бройна система и компютрите

Двоичната бройна система е от фундаментално значение за съвременната изчислителна техника, защото нейните две цифри 1 и 0 технически лесно могат да бъдат различени - по това дали в даден възел от електрическата/електронната верига протича или не протича ток, или е налице или не напрежение. От теоретична (и практическа) гледна точка електрическите/електронните вериги изградени на базата на двоична бройна система има най-високата възможна шумозащитеност, тъй като за да бъде прочетена/записана погрешно някоя цифра, нивото на евентуален смущаващ сигнал трябва да бъде (в повечето случаи) приблизително половината от захранващото напрежение на веригата. Също така 1 и 0 могат да се тълкуват логически като знаци за верни и неверни съждения. Двоичното представяне на числата е удобно за конструктивно изпълнение (хардуерна реализация) на пресмятанията, тъй като събирането и умножението се извършват по следните правила:

0+0=0; 0+1=1; 1+0=1; 1+1=10; 0.0=0; 0.1=0; 1.0=0; 1.1=1

Редица от 0 и 1 се нарича бинарен код (още - двоичен код).

Вижте също

• Двоична бройна система
• Десетична бройна система
• Осмична бройна система
• Шестнадесетична бройна система
• Римски цифри
• Гръцки цифри