Хилбертово пространство

Положението на вибрираща струна може да бъде моделирана като точка в Хилбертово пространство. Разлагането на вибриращата струна в отделни обертонове е дадено от проекцията на точката върху координатни оси в пространството.

Хилбертово пространство (ХП) е понятие в математиката обобщаващо Евклидовото пространство. Наречено е на Давид Хилберт, който пръв въвежда концепцията за безкрайномерно Евклидово пространство през 1909 г.

Хилбертовото пространство разширява методите на векторната алгебра от двумерната равнина и тримерното пространство към многомерните пространства.

Ако трябва да го дефинираме с по-строги математически термини, Хилбертовото пространство е векторно пространство, в което разстоянията и ъглите могат да бъдат измерени и, което е пълно. Тоест за всяка редица от вектори на Коши съществува граница в пространството.

В общия случай ХП е безкрайномерно, линейно и векторно пространство над комплексните числа $\textstyle {\mathbb {C} }$ със скаларно произведение, относно което то е пълно.

Пространствата на Хилберт се използват широко в математиката и физиката. Те са изключително важен инструмент в теорията на частните диференциални уравнения, квантовата механика и обработката на сигнали. Благодарение на тази теория бяха достигнати много успехи в областта на функционалния анализ.

Геометрическата интуиция играе важна роля в много от насоките на Хилбертовото пространство. Елемент от Хилбертово пространство може да бъде еднозначно зададен посредством координатите спрямо ортонормирана координатна система, по аналогия с декартовите координати в равнината. Когато базовата координатна система е безкрайна, това означава че Хилбертовото пространство е безкрайна последователност от квадратни суми. Линейните оператори в Хилбертово пространство са съвсем конкретни обекти. В най-добрите случаи те са трансформации, които разширяват пространството с даден фактор във взаимно перпендикулярни посоки.

Дефиниция и примери

Пространство на Хилберт е реално или комплексно векторно пространство, което е пълно и в което модула се определя от скаларното произведение $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ посредством формулата:

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ .

Събиране

Две Хилбертови пространства H₁ и H₂ могат да бъдат комбинирани в едно общо Хилбертово пространство, наричано директна ортогонална сума и обозначавано като:

$H_{1}\oplus H_{2}$,

състоящо се от множеството от всички подредени двойки (x₁, x₂) където x_i ∈ H_i, i = 1,2, и скаларното произведение

$\langle (x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H_{1}\oplus H_{2}}=\langle x_{1},y_{1}\rangle _{H_{1}}+\langle x_{2},y_{2}\rangle _{H_{2}}$.

Най-общо ако H_i е фамилия от Хилбертови пространства индексирани по i ∈ I, тогава директната сума от H_i се означава като:

$\bigoplus _{i\in I}H_{i}$

състояща се от множеството от всички индексирани фамилии

$x=(x_{i}\in H_{i}|i\in I)\in \prod _{i\in I}H_{i}$

от Декартови произведения от H_i, такива че

$\sum _{i\in I}\|x_{i}\|^{2}<\infty$.

Скаларно произведение се нарича

$\langle x,y\rangle =\sum _{i\in I}\langle x_{i},y_{i}\rangle _{H_{i}}$.

Всяко от пространствата H_i е включено като затворено подпространство в директните суми на всички H_i.

Нещо повече, пространствата H_i са взаимно ортогонални.