Правоъгълен триъгълник: Разлика между версии
Редакция без резюме |
Редакция без резюме |
||
Ред 18: | Ред 18: | ||
* Дължината на '''медианата''' към хипотенузата е равна на 1/2 от дължината на хипотенузата. |
* Дължината на '''медианата''' към хипотенузата е равна на 1/2 от дължината на хипотенузата. |
||
[[Файл:Triangle_rectangle_mediane.png|220px|дясно|Медиана към хипотенузата]] |
[[Файл:Triangle_rectangle_mediane.png|220px|дясно|Медиана към хипотенузата]] |
||
Това лесно се доказва с помощта на насочени отсечки.(фиг.2) |
Това лесно се доказва с помощта на насочени отсечки. (фиг.2) |
||
Ако разгледаме насочените отсечки <math>\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{AM}</math>, то за триъгълника ''АМС'' е изпълнено: <math>\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BC} / 2 \,</math>, а за триъгълника ''АВС'' е изпълнено: <math>\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}\,</math>, откъдето следва, че: <math>\vec{AM} = (\vec{AB} + \vec{AC}) / 2 \,</math>, тъй като <math>\vec{BA} = -\vec{AB}</math>. Ако повдигнем двете страни на квадрат, ще получим: ''AM''<sup> 2</sup> = (''AB''<sup> 2</sup> + ''AC''<sup> 2</sup>)/4 (произведението на перпендикулярни вектори е 0). |
Ако разгледаме насочените отсечки <math>\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{AM}</math>, то за триъгълника ''АМС'' е изпълнено: <math>\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BC} / 2 \,</math>, а за триъгълника ''АВС'' е изпълнено: <math>\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}\,</math>, откъдето следва, че: <math>\vec{AM} = (\vec{AB} + \vec{AC}) / 2 \,</math>, тъй като <math>\vec{BA} = -\vec{AB}</math>. Ако повдигнем двете страни на квадрат, ще получим: ''AM''<sup> 2</sup> = (''AB''<sup> 2</sup> + ''AC''<sup> 2</sup>)/4 (произведението на перпендикулярни вектори е 0). |
Версия от 09:43, 13 септември 2019
За информацията в тази статия или раздел не са посочени източници. Въпросната информация може да е непълна, неточна или изцяло невярна. Имайте предвид, че това може да стане причина за изтриването на цялата статия или раздел. |
Правоъгълен триъгълник е вид триъгълник, на който един от ъглите е прав (90°).
Най-дългата страна в триъгълника е тази, която лежи срещу правия ъгъл и се нарича хипотенуза. Другите две страни се наричат катети.
- ВС – катет
- АВ – катет
- АС – хипотенуза
Зависимостта между дължините на трите страни в правоъгълен триъгълник се изразява с Питагоровата теорема. Отношението на дължините на които и да е две страни се изразява с тригонометрична функция.
Свойства
- Питагорова теорема: Сумата от квадратите на дължините на катетите е равна на квадрата от дължината на хипотенузата:
.
- Обратна теорема на Питагоровата теорема: Ако сумата от квадратите на дължините на две страни на триъгълник е равна на квадрата от дължината на третата страна, то триъгълникът е правоъгълен.
- Дължината на медианата към хипотенузата е равна на 1/2 от дължината на хипотенузата.
Това лесно се доказва с помощта на насочени отсечки. (фиг.2)
Ако разгледаме насочените отсечки , то за триъгълника АМС е изпълнено: , а за триъгълника АВС е изпълнено: , откъдето следва, че: , тъй като . Ако повдигнем двете страни на квадрат, ще получим: AM 2 = (AB 2 + AC 2)/4 (произведението на перпендикулярни вектори е 0).
От Питагоровата теорема знаем, че за триъгълника ABC е в сила равенството: BC 2 = AB 2 + AC 2, откъдето следва, че: AM = BC/ 2.
- Лицето на правоъгълен триъгълник е равно на 1/2 от произведението на дължините на катетите.
- Теорема на Талес: Центърът на описаната около правоъгълен триъгълник окръжност лежи на хипотенузата.
- Ако един от острите ъгли е равен на 30 градуса, то катета, лежащ срещу този ъгъл, е равен на 1/2 от хипотенузата.