Триъгълно число: Разлика между версии

Изтрито е съдържание Добавено е съдържание

Линейно

Версия от 20:19, 28 септември 2019

Триъгълно число^[1] е общият брой еднакви елементи, които подредени образуват равностранен триъгълник, като в схемата в дясно. Триъгълното число n е сумата на точките в равностранен триъгълник със страни n точки и е равно на сумата от първите n естествени числа. Числото 0 (нулево триъгълно число) също се приема за триъгълно число на триъгълник със страна 0 (n=0). Първите (до n=36) триъгълни числа (последователност A000217 в OEIS) са:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, ...

Формула

Точната формула за триъгълно число е:

T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2}

,

където $\textstyle {n+1 \choose 2}$ е биномен коефицент. Той представлява броят на неповтарящите се двойки, които могат да бъдат избрани от n + 1 елемента.

Първото уравнение може да се илюстрира с помощта на следното доказателство.^[2] За всяко триъгълно число $T_{n}$ си представете полу-квадратно разположение на елементите, съответстващи на триъгълното число, като на фигурата по-долу. Копирайте тази подредба и я завъртете, създавайки правоъгълник с удвоен брой елементи, с размери $T_{n}$ . Триъгълното число е винаги точно половината от броя на елементите в такава фигура, или: $T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}$ . Например $T_{4}$ се илюстрира по следния начин:

2T_{4}=4(4+1)=20

(зелени плюс жълти) означава, че

T_{4}={\frac {4(4+1)}{2}}=10

(зелени).

За доказателство се използва и математическата индукция.^[3]

Връзка към други фигурни числа

Триъгълните числа имат широк спектър от връзки с другите фигурни числа.

Произведението на две последователни естествени числа е правоъгълно число.

$P_{n}={n(n+1)}={n^{2}+n}=T_{n}\times 2$

Така n-тото правоъгълно число е двойно по-голямо от n-тото триъгълно число.

Сумата от две последователни триъгълни числа е квадратно число. То е равно на квадрата от разликата на двете числа (следователно разликата в двете е корен квадратен от сумата). Алгебрически:

T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}

Графично това се представя така:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

Има безкрайно количество триъгълни числа, които са едновременно и квадратни числа; например: 1, 36, 1225. Някои от тях могат да бъдат получени с помощта на обикновена рекурсивна формула:

S_{n+1}=4S_{n}\left(8S_{n}+1\right)

с

S_{1}=1.

Всички квадратни триъгълни числа се намират от рекурсията:

S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2

с

S_{0}=0

и

S_{1}=1

Сборът на първите n на брой триъгълни числа прави n-тото тетраедрално число, като има само 5 триъгълни числа, които са същевременно и тетраедрални:^[4]

1, 10, 120, 1540 и 7140.

Триъгълни репдиджит числа

Репдиджит е естествено число, състоящо се само от една и съща цифра.

Според последователност A045914 в OEIS има само 7 числа, които са едновременно триъгълни и репдиджит:

0, 1, 3, 6, 55, 66, 666

В случая участват и едноцифрени числа, защото технически те са репдиджит само от една цифра.

Вижте също

Източници

↑ Как да преброим числата, без да ги броим или защо математиката е красива
↑ Triangular Number Sequence // Math Is Fun.
↑ Andrews, George E. Number Theory, Dover, New York, 1971. pp. 3-4.
↑ Последователност A027568 в OEIS

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Triangular number в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.

ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.

[1] Как да преброим числата, без да ги броим или защо математиката е красива

[2] Triangular Number Sequence // Math Is Fun.

[3] Andrews, George E. Number Theory, Dover, New York, 1971. pp. 3-4.

[4] Последователност A027568 в OEIS

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Ред 17: / Ред 17: @@
 == Връзка към други фигурни числа ==
-Триъгълните числа имат широк спектър от връзки с другите фигурни числа.
+Триъгълните числа имат широк спектър от връзки с другите [[Фигурно число|фигурни числа]].
 * Произведението на две последователни естествени числа е [[правоъгълно число]].
 <math> P_n = {n(n+1)} = {n^2+n} = T_n \times 2</math>
 Така ''n-''тото правоъгълно число е двойно по-голямо от ''n''-тото триъгълно число.
-* Сумата от две последователни триъгълни числа е [[квадратно число]].
+* Сумата от две последователни триъгълни числа е [[квадратно число]]. То е равно на квадрата от разликата на двете числа (следователно разликата в двете е корен квадратен от сумата). Алгебрически:
-То е равно на квадрата от разликата на двете числа (следователно разликата в двете е корен квадратен от сумата). Алгебрически:
 :<math>T_n + T_{n-1} = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{\left(n-1\right)^2}{2} + \frac{n-1}{2} \right) = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{n^2}{2} - \frac{n}{2} \right) = n^2 = (T_n - T_{n-1})^2</math>
@@ Ред 38: / Ред 37: @@
 Всички квадратни триъгълни числа се намират от рекурсията:
 :<math>S_n = 34S_{n-1} - S_{n-2} + 2</math> с <math>S_0 = 0</math> и <math>S_1 = 1</math>
+* Сборът на първите ''n'' на брой триъгълни числа прави ''n''-тото [[тетраедрално число]], като има само 5 триъгълни числа, които са същевременно и тетраедрални:<ref>[https://oeis.org/A027568 Последователност A027568 в OEIS]</ref>
+:[[1 (число)|1]], [[10 (число)|10]], [[120 (число)|120]], [[1540 (число)|1540]] и [[7140 (число)|7140]].
 == Триъгълни репдиджит числа ==