Тангенс

Тангенсът е тригонометрична функция, дефинирана като

\operatorname {tg} \,x={\frac {\,\sin x}{\,\cos x}}

за всяко реално x ≠ (2k + 1)π/2. Тази точка се изключва от дефиниционната област на тангенса, понеже той е дефиниран като частно и знаменателят не може да бъде равен на нула.

Терминът „тангенс“ е въведен от датския математик Томас Финке (1561 – 1656) в неговата книга „Geometria rotundi“ („Геометрия на кръглото“), издадена през 1583 г. Бележи се с tg или tan.

Дефиниция

За остър ъгъл в правоъгълен триъгълник тангенсът се дефинира като отношението на срещулежащия катет към прилежащия катет. За обобщен ъгъл с радианна мярка x ≠ (2k + 1) π/2, чийто връх е в координатното начало, а първото рамо е по абсцисната ос, tg x е ординатата на точката, в която второто рамо на ъгъла пресича оста на тангенсите – допирателната към единичната окръжност, прекарана през точката с координати (1,0).

Формули и свойства

Някои от свойствата на функцията тангенс са:

Функцията тангенс е нечетна функция, понеже tg (-x) = – tg x.

Функцията тангенс е периодична функция с период π, понеже tg x = tg (x + kπ).

Функцията тангенс не е ограничена функция, тъй като tg π/2 = ∞, tg 3π/2 = -∞.

За функцията тангенс са изпълнени:

tg x = 1/ ctg x.

1 + tg² x = 1/cos²x

Тангенс на сбор и разлика на два ъгъла

tg (x + y) = (tg x + tg y) / (1 – tg x . tg y).

tg (x – y) = (tg x – tg y) / (1 + tg x . tg y).

Тангенс на удвоен ъгъл

tg 2x = 2 tg x / (1 – tg² x).

Сбор и разлика на тангенси

tg x + tg y = sin (x + y) / cos x . cos y.

tg x – tg y = sin (x – y) / cos x . cos y.

Графика на функцията

Графиката на тангенса е показана на следващия чертеж. За да изучим изменението ѝ е достатъчно да я изследваме в интервал с дължина π. За тази цел е удобен интервалът (-π/2, π/2), като е взета под внимание периодичността на функцията.

Вижте също