Условна вероятност

Условна вероятност е вероятността за настъпване на събитието А, при условие, че В е настъпило. Означава се с P(A|B) и се чете „Условна вероятност на събитието А по отношение на събитието В“ .

Определение

Математическото определение за условна вероятност се записва по следния начин:

$\Pr(A\mid B)={\frac {\Pr(A\cap B)}{\Pr(B)}},\Pr(B)>0.$

Където $\Pr(A\cap B)$ е общата вероятност двете събития да са се сбъднали, а Pr(B) e вероятността да се е сбъднало събитието В без оглед на другите обстоятелства.

Трябва да се отбележи, че в горните определения не се въвеждат никакви времеви или причинно-следствени връзки между събитията А и В. Както А може да предхожда В, така и обратно.

Въвеждането на условности във вероятностите се осъществява с теоремата на Бейс.

Независимост на две събития

Две събития $A,B\in {\mathfrak {A}}$ се наричат независими, тогава и само тогава, когато:

$\Pr(A\cap B)=\Pr(A)\Pr(B).$

От математическото определение на условните вероятности очевидно следва, че:

$\Pr(A|B)\ =\ \Pr(A)$

и

$\Pr(B|A)\ =\ \Pr(B).$

Следствия

За две независими събития $A,B\in {\mathfrak {A}}$ е в сила:

1. $A^{c}$ e независимо от $B$.

2. $A$ e независимо от $B^{c}$.

3. $A^{c}$ e независимо от $B^{c}$.

Независимост на $\sigma$-Алгебри

Две $\sigma$-Алгебри ${\mathfrak {A}}_{1},{\mathfrak {A}}_{2}\in {\mathfrak {A}}$ се наричат независими, тогава и само тогава, когато:

$\forall A_{1}\in {\mathfrak {A}}_{1},\forall A_{2}\in {\mathfrak {A}}_{2}$: Събитие $A_{1}$ е независимо от събитие $A_{2}$.

Допълнителни формули

1.$\Pr(A)=\Pr(A|B)\Pr(B)+\Pr(A|B^{c})\Pr(B^{c}).$

2.$\Pr(A_{1}\cap ....\cap A_{n})=\Pr(A_{1})\Pr(A_{2}|A_{1})...\Pr(A_{n}|A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n-1}).$

3.$\forall A,B\in {\mathfrak {A}},\Pr(A)>0,\Pr(B)>0$:

$\Pr(A|B)={\frac {\Pr(B|A)\Pr(A)}{\Pr(B)}}.$ (Формула на Бейс)

Примери

1. Нека разгледаме най-простия пример:този на еднократно хвърления зар. Дадено е вероятностно пространство $(\Omega ,{\mathfrak {A}},\Pr )$, където $\Omega =\left\{1,2,...,6\right\},{\mathfrak {A}}=\left\{\emptyset ,\Omega ,\left\{2,4,6\right\},\left\{1,3,5\right\}\right\},\Pr \left\{i\right\}={\frac {1}{6}}$. Интересува ни каква е вероятността да сме хвърлили двойка при положение, че знаем че хвърления зар е четен.

В случая ${A}=\left\{2\right\},{B}=\left\{2,4,6\right\}$. Тогава:

$\Pr(A\mid B)={\frac {\Pr(A\cap B)}{\Pr(B)}}={\frac {\Pr(\left\{2\right\}\cap \left\{2,4,6\right\})}{\Pr(\left\{2,4,6\right\})}}={\frac {\frac {1}{6}}{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{3}}.$

Външни препратки

• Условна вероятност, Формула на Бейс Архив на оригинала от 2008-01-08 в Wayback Machine., лекции по вероятности на проф. Димитър Въндев