Алгебра над поле

Алгебра А над дадено поле F е пръстен, в който допълнително е въведена операция умножение с число (числа, формално, ще наричаме елементите на полето F). Умножението трябва да е съгласувано, т.е. $x(ab) = (xa)b = a(xb), a, b \in F, x \in F$. Допълнително адитивната група на пръстена е векторно пространство:

$a,b \in A, \ x,y \in F \Rightarrow xa + yb \in A.$

Размерността на векторното пространство се нарича ранг на алгебрата. Алгебрите с краен ранг се наричат още хиперкомплексни системи. Ако, в допълнение, алгебрата А е пръстен на Ли то тя се нарича алгебра на Ли. Идеалът на пръстена е идеал и за алгебрата, ако е съгласуван с умножението с числата от F. Ако във факторпръстена А/I е въведено умножение с числа $x \in F$, по закона $x(a + I) = xa + I$, то получената алгебра над F се нарича факторалгебра на А по I.

Примери

• Всяко поле е алгебра над себе си (с ранг 1).
• $\mathbb{R}^3$ е алгерба с въведено събиране на вектори, векторното и скаларното произведение.
• Квадратните матрици с елементи от $\mathbb{C}$ заедно с операциите събиране и умножение на матрици и умножение на матрица с комплексно число.
• Алгебрата на кватернионите, която е единствената алгебра над $\mathbb{R}$ с ранг повече от 2.

Литература

• Джекобсон, Алгебры Ли, М., Мир, 1964.[1]
• Станчо Павлов, Октониони - въведение [2]