Перпендикуляр

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Фиг. 1 - Правата AB перпендикулярна на CD, защото двата ъгъла, които образува с нея (съответно оранжев и син) са равни.
Емблема за пояснителна страница Вижте пояснителната страница за други значения на Перпендикуляр.

В геометрията две прави се наричат перпендикулярни, ако едната образува с другата два равни съседни ъгъла. Аналогично би било да наречем едната перпендикуляр към другата. Точката, в която тази права пресича другата, се нарича пета на перпендикуляра. Следователно на Фигура 1 правата AB е както перпендикуляр към CD през точка B, така и перпендикулярна на CD през точка B.

Ако две прави са перпендикулярни, двата равни ъгъла, които се получават, се наричат "прави ъгли". Тяхната големина е равна на 90°, 100 града или \pi \over 2 rad.

За сравнение вж. успоредност.

Аналитично представяне[редактиране | edit source]

Чрез наклон[редактиране | edit source]

В декартова координатна система две прави L е M могат да бъдат описани чрез уравненията

L:\;y = ax + b,
M:\;y = cx + d,

ако никоя от тях не е перпендикулярна на оста Ox. Тогава a и c са наклоните на двете прави. Правите L и M са перпендикулярни тогава и само тогава, когато произведението на наклоните им е -1, тоест ac=-1.

Чрез скаларно умножение на вектори[редактиране | edit source]

Тъй като скаларното произведение на два вектора е равно на произведението на дължините им, умножено по косинуса на ъгъла между тях, в много геометрични задачи, в които се доказва или използва перпендикулярност, е удачно да използваме векторен апарат. Тъй като cos(90°)=0, достатъчно е да докажем, че скаларното произведение на ненулевите вектори а и b е равно на нула, с което доказваме, че те са перпендикулярни. Вярно е и обратното - ако ненулевите вектори а и b са перпендикуларни, то скаларното им произведение е равно на нула, чрез което лесно и удобно могат да бъдат доказани много други твърдения.


Построяване на перпендикуляр в дадена равнина[редактиране | edit source]

Фиг. 2 - Построяване на перпендикуляр (синьо) към правата AB през точка P.

За да построим перпендикуляра към AB през P с помощта на линийка и пергел, правим следното (Фиг. 2):

  • 1 (червено): построяваме окръжност K с център P и произволен радиус d. K∩AB в точките A' и B', които са равноотдалечени от P.
  • 2 (зелено): Построяваме окръжности K1 и K2 с центрове съответно точките A' и B' и радиуси съответно A'Р и B'Р, следователно и двете минават през точка P. Нека Q е другата обща точка на K1 и K2.
  • 3 (синьо): PQ⊥AB.

Доказателство за тази перпендикулярност намираме чрез еднаквостта на QPA' и QPB' по три равни страни, от което следва, че ъглите OPA' и OPB' са равни. След това по две равни страни и ъгъл между тях триъгълниците OPA' и OPB' са еднакви, от което следва, че ъглите POA и POB са равни.

Перпендикулярност в пространството[редактиране | edit source]

Перпендикулярност на две кръстосани прави[редактиране | edit source]

Ъгъл между две кръстосани прави a и b се нарича ъгълът между a и b1, където b1 е права, успоредна на b, минаваща през точка M, лежаща върху a. Две кръстосани прави се наричат перпендикулярни, ако ъгълът, който слючват, е прав.

Перпендикулярност на права и равнина[редактиране | edit source]

Правата a се нарича перпендикулярна на равнината α, тогава и само тогава, когато всяка права в равнината α е перпендикулярна на a. По теорема достатъчно условие за перпендикулярност между права и равнина е в равнината да съществуват две пресичащи се прави b и c, които са перпендикулярни на a. Следователно всяка права t, успоредна на a, където a е перпендикулярна на равнината α, също е перпендикулярна на α.

Перпендикулярност на две равнини[редактиране | edit source]

Когато две равнини се пресекат, между тях се образува двустенен ъгъл. Линейният ъгъл на един двустенен ъгъл е такъв ъгъл, чиито рамене лежат съответно в двете равнини, които се пресичат, и едновременно с това са перпенсикулярни на пресечницата на тези две равнини. Когато линейният ъгъл на двустенния ъгъл на две равнини е прав, тези равнини се наричат перпендикулярни.

Виж също[редактиране | edit source]