Дискриминанта

Дискриминанта на полином (многочлен) на една променлива е число, което е равно на нула, тогава и само тогава, когато полиномът има повтарящ се корен. Точната дефиниция на дискриминантата на полинома

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

e

$D(f)=a_{n}^{2n-2}\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}$

където x₁, x₂, …, x_n са всички n корена на полинома, броени с кратностите им.

Свойства

• Дискриминантата е симетричен полином и може да бъде изразена чрез елементарните симетрични полиноми. Последните съгласно формулите на Виет могат да бъдат заменени с коефициентите на изходния полином. Така дискриминантата е полином от коефициентите на многочлена.

• Дискриминантата на полинома f е равна на детерминантата на следната (2n − 1)×(2n − 1) матрица

$\left({\begin{matrix}&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{0}&0&\ldots &\ldots &0\\&0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{0}&0&\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&0&\ldots \ &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{0}\\&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}&0&\ldots &\ldots &0\\&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}&0&\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&0&\ldots &0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}\\\end{matrix}}\right)$

Някои автори приемат горния израз за дефиниция на дискриминантата.

• Дискриминантата на f(x) е равна на резултантата на f(x) и f'(x), където f' е производната на f.

Примери

• Дискриминантата на полином от втора степен P(x) = ax²+bx+c, е

$D=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}=x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}-4x_{1}x_{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4x_{1}x_{2}=b^{2}-4ac$

Последният израз чрез замяна на коефициентите дава числото b²-4ac.

• Дискриминантата на полином от трета степен P(x) = ax³+bx²+cx+d, e

$D=c^{2}b^{2}-4db^{3}-4c^{3}a+18dcba-27d^{2}a^{2}$