Ентропия на Шанън

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В рамките на теорията на информацията, централен обект на изследване е функцията ентропия на Шанън или липса на информация, която ще обозначаваме с .

Нека обозначим вероятностите за различните събития от дадено вероятностно пространство с . Ентропията на Шанън, която понякога се нарича и „липса на информация“, в статистическата механика е еквивалентна на ентропията. Функцията е дефинирана по следния начин:

, където C е константа, чийто смисъл ще стане ясен по-късно, а N е броят на възможните резултати (в статистическата механика - броят на възможните микросъстояния)

Нека например разгледаме ситуацията залагане на зарове. Притежателят на зара е измамник, който е обработил зара така, че да пада на определено число. Познаването на това число намалява стойността на функцията липса на информация, която понякога, за по-кратко се нарича и ентропия.

Минимум и максимум на ентропията (липсата на информация)[редактиране | редактиране на кода]

Ако зарът винаги пада на една страна, да кажем 4, то тогава вероятността е равна на 1, а всички други вероятности са 0. В този случай, функцията липса на информация става равна на:

и тъй като всички членове на това уравнение са равни на нула (заб. ), имаме:

.

Тоест, липсата на информация е нулева, когато със сигурност знаем изхода от даден опит, което, както виждаме, може да се изрази математически с така дефинираната функция липса на информация. Обратно, функцията липса на информация има максимум, когато отделните вероятности са равни. За да докажем това твърдение ще използваме метода с множителите на Лагранж:

От условието за нормировка следва: (сборът на всички вероятности е единица). Следователно, прибавянето на тази сума към ентропията и изваждането на единица не променя нищо:

Търсим точките, в частната производна по се анулира:

или

тоест, виждаме, че стойността на кое да е зависи само от константи, т.е. самото то е константа, която може да обозначим, например, с . Следователно, от условието за нормировка следва:

или

Видяхме, че когато липсата на информация е в максимум, вероятностите за различните изходи са равни помежду си. В рамките на статистическата механика това се интерпретира по следния начин: когато системата е в равновесие, ентропията е в максимум. След повторно изкарване от равновесие, съгласно втория принцип на термодинамиката, ентропията ще нарастне, докато отново не достигне максимум.

Връзка с ентропията[редактиране | редактиране на кода]

Както видяхме, когато ентропията (липса на информация) е максимална, всички -та са равни на . Тогава:

Ако заместим C с kB получаваме формулата на Болцман за ентропията, която показва връзката между ентропията и липсата на информация и оправдава наименованието „ентропия на Шанън“ за функцията „липса на информация“.

Смисъл на константата C[редактиране | редактиране на кода]

Този път измамникът играе не на зарове, а на ези-тура. Ако нямаме информация за системата, вероятността монетата на падне на ези е равна на вероятността монетата да падне на тура, . Ако знаем на коя страна ще падне монетата, липсата на информация е нулева. В теорията на информацията, Константата С е дефинирана така, че разликата в информацията за тези два случая да е 1, т.е.:

Виждаме, че C играе ролята на „бит информация“, т.е. в теорията на информацията един бит е . Както видяхме, в статистическата механика, ролята на С се играе от , така че един „бит ентропия“ в статистическата механика е константата на Болцман,

Концепцията е представена за пръв път от Клод Шанън през 1948 г. в неговата статия „Математическа теория на комуникациите“ (en: A Mathematical Theory of Communication).

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  • Mouhanna, D; Sator, N., Cours et TDs de Mécanique statistique, Université Pierre et Marie Curie, 2008

Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]