Ковектор

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Преди да дадем дефиницията за ковектор е нужно да изведем няколко важни правила относно връзката между координатни системи и трансформацията на координати при смяна на векторната база.

Трансформация между координатни системи[редактиране | редактиране на кода]

От информацията за вектори знаем че векторът е физически обект, представян чрез три координати в тримерното Евклидово пространство.

А(а1, а2, а3), при зададена база (е1,е2,е3).
Можем да запишем горното равенство за по-просто:
(е1,е2,е3) ще наричаме базови вектори, база или базови координатни вектори. В случая не става дума за единични вектори, понеже големината на тези вектори може да е различна от единица.
Ако променим базата от вектори (е1,е2,е3) и ползваме нова база вектори (е1',е2',е3') , то координатите на вектора ще се променят съответно в А' (а1', а2', а3').


Нека да разгледаме по-подробно какво става при смяна на базата.

Нека да е зададена тримерна координатна система K с линейно независими вектори търсим ново представяне спрямо различна координатна система K' представена с линейно независими вектори . Линейната независимост между е1, е2 и е3 означава че нито един от векторите е1, е2 или е3 не може да бъде представен като линейна зависимост на другите два вектора.


Вектор А се представя в системата К чрез следните равенства:

- Тук нарочно променяме мястото на индекса да бъде отгоре - за да можем по-лесно да различаваме координатите от единичните вектори.
В системата К'

Такова представяне може да бъде направено за произволен вектор, включително и за координатните вектори:


Тези формули ни дават правилото за трансформация на координатите от система К към система К'. Скаларната матрица определя как да се преизчислят всички величини в новата координатна система К', включителн базовите координатни вектори. Затова тази матрица се нарича транзиционна или трансформационна матрица.


По обратния начин можем да намерим взаимовръзката от К' към К:

Матрицата ни дава обратната трансформация от К' към К. Тя е зависима от S и се нарича обратна трансформационна матрица.

Горните две формули могат да бъдат записани по-накратко съгласно означенията, въведени от Айнщайн:



(2.1)





Сега да разгледаме представянето на произволен вектор А(а1, а2, а3)


Полагаме:

И така получаваме формулата за вектор А, изразен спрямо две различни бази:

Ще спазваме условностите, приети за удобство при запис. Индексът на координатите го качваме горе и по този начин правим ясно разграничение между базовите вектори и координатите:

Вижда се че величината А не зависи от избора на базовите вектори. Промяната на базовите вектори променя координатите, но не променя посоката и дължината на А.

В сила са следните трансформационни правила:

(2.2)


 

-второто равенство е следствие от първото и представлява обратна трансформация от К' в К.

Матрици[редактиране | редактиране на кода]


Ако ползваме съкратен запис за матриците се получава следният резултат:

За сравнение връзката между базовите вектори е обратна:

В съкратена матрична форма:


Сега вече можем да дадем дефиниция:

Дефиниция[редактиране | редактиране на кода]

Ковекторът представлява геометрически обект, представян с тройка координати (1,2,3) , за който са сила трансформационните правила:

Ковекторът е много близък по смисъл до вектора, за да ги разграничаваме умишлено въведохме долен индекс за обозначение на векторите и горен индекс за обозначение на ковекторите. Друга разлика между вектор и ковектор се състои в следното: Можем да избираме произволна база вектори, но това не води до произволни координати на ковектора. Тройката координати на ковектора винаги се подчинява на трансформационните правила за права и обратна конверсия.

Вижте още:[редактиране | редактиране на кода]

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  • Английската и руската версии на Уикипедия
  • "Теоретическа физика" - Л.Д.Ландау, Лифшиц