Модул (теория на пръстените)

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето
Емблема за пояснителна страница Вижте пояснителната страница за други значения на Модул.

В теория на пръстените модул над пръстен или -модул представлява удобно обобщение на понятието линейно пространство (от линейната алгебра) и Абелева група (от теория на групите). Модулите намират широка употреба в комутативната алгебра, хомологичната алгебра и теория на представянията.

Формални определения[редактиране | редактиране на кода]

Нека е комутативен пръстен с единица (елементите на наричаме скалари) и е абелева група с адитивен запис (приемаме действието в групата за събиране '+'). ще наричаме -модул, ако на всеки елемент и на всеки елемент се съпоставя елемент (скаларно умножение), като са налице следните аксиоми :

  1. .

Лесно се забелязва, че разликата с аксиомите за линейно пространство над поле се състои във възможността скаларите да лежат в пръстен, който, в общия случай, не е поле.

Ако не е комутативен, може да се въведат ляв и десен R-модул (съответно и ), където скаларното умножение ще действа от ляво, съответно дясно.

Подмодул на ще наричаме всяка подгрупа на , затворена относно скаларното умножение. Тъй като групата на M е абелева, то N е нормална подгрупа и са възможни конструкции като факторизация.

Анулатор на ще наричаме множеството . За разлика от линейни пространства, където е изпълнено единствено при или , тоест в ненулево пространство , то при модулите са възможни аномалии, при които ненулев скалар и ненулев вектор дават 0 при скаларно умножение. Например, в модула от остатъци по модул n над пръстена от целите числа , за всеки елемент е изпълнено, че , и .

Примери[редактиране | редактиране на кода]

  • Всяко линейно пространство над поле е модул над това поле.
  • Всяка абелева група е -модул, където умножението с число n се дефинира като n-кратното събиране на елемент със себе си при n>0, като при n<0 се взима обратният елемент на този сбор.
  • Всеки идеал и всеки факторпръстен, на даден пръстен , е -модул.
  • Множеството от всички векторни полета върху гладкото многообразие образува модул над (пръстена на гладките функции действащи от върху ).

Видове модули[редактиране | редактиране на кода]

  • Свободен модул е директна сума на n копия на .
  • Цикличен модул е модул, породен от един елемент.
  • Крайнопороден модул е модул, в който всеки елемент може да се представи във вида . Един модул е крайнопороден тогава и само тогава, когато е изоморфен на фактормодул на свободния модул , .
  • Точен модул е модул, за който .
  • Прост модул (или неприводим модул) е ненулев модул, който няма подмодули, различни от нулевия и самия себе си.