Модул (теория на пръстените)

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В теория на пръстените модул над пръстен R\, или R\,-модул представлява удобно обобщение на понятието линейно пространство (от линейната алгебра) и абелова група (от теория на групите). Модулите намират широка употреба в комутативната алгебра, хомологичната алгебра и теория на представянията.

Формални определения[редактиране | edit source]

Нека R\, е комутативен пръстен с единица 1_{R}\, (елементите на R\, наричаме скалари) и M\, е абелева група с адитивен запис (приемаме действието в групата за събиране '+'). M\, ще наричаме R\,-модул, ако на всеки елемент  r \in R и на всеки елемент x \in M се съпоставя елемент ax \in M (скаларно умножение), като са налице следните аксиоми ( r, s \in R; x, y \in M):

  1. r(x + y) = rx + ry\,
  2. (r +s)x = rx + sx\,
  3. (rs)x = r(sx)\,
  4.  1_{R} x = x\,.

Лесно се забелязва, че разликата с аксиомите за линейно пространство над поле се състои във възможността скаларите да лежат в пръстен, който, в общия случай, не е поле.

Ако R\, не е комутативен, може да се въведат ляв и десен R-модул (съответно {}_{R}\!M и M_R\,), където скаларното умножение ще действа от ляво, съответно дясно.

Подмодул на M\, ще наричаме всяка подгрупа N\, на M\,, затворена относно скаларното умножение.

Анулатор на M\, ще наричаме множеството Ann M = \{ r \in R \ | \ rM = 0 \}.

Примери[редактиране | edit source]

Видове модули[редактиране | edit source]

  • Свободен модул е директна сума R^n = R \oplus \cdots \oplus R на n копия на R\,.
  • Цикличен модул е модул породен от един елемент.
  • Крайнопороден модул е модул, в който всеки елемент може да се представи във вида  x = r_{1}x_{1} + \cdots + r_{n}x_{n}, \ x_1,...,x_n \in M,  \ r_1,...,r_n \in R. Един модул е крайнопороден тогава и само тогава, когато е изоморфен на фактормодул на свободния модул R^n\,, n \in \mathbb{N}.
  • Точен модул е модул, за който Ann M = (0)\,.
  • Прост модул (или неприводим модул) е ненулев модул, който няма подмодули различни от нулевия и самия себе си.