Сигма-функция (теория на числата)

Вижте пояснителната страница за други значения на Сигма-функция.

Сигма-функцията e мултипликативна аритметична функция, дефинирана за всяко естествено число като сумата от неговите делители. Използва се означението: $\sigma (n)\,$ . Освен σ-функцията интерес за теорията на числата представляват σ*- и σ_x-функциите:

\sigma ^{*}(n)=\sum _{d|n \atop d\neq n}d,\qquad \sigma _{x}(n)=\sum _{d|n}d^{x}

При това означение^[1]:

\sigma (n)=\sigma ^{*}(n)+n=\sigma _{1}(n),\,

а на τ-функцията може да се гледа като на частен случай на σ_x-функциите:

\tau (n)=\sigma _{0}(n).\,

Стойности[редактиране | редактиране на кода]

За всяко просто число $p\,$ :

\sigma _{x}(p)=p^{x}+1\,

\sigma _{x}(p^{\alpha })={\frac {p^{(\alpha +1)x}-1}{p^{x}-1}}=\sum _{i=0}^{\alpha }p^{ix}

За съставно $n=\prod _{i=1}^{m}p_{i}^{\alpha _{i}}$ :

\sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{m}\sigma (p_{i}^{\alpha _{i}x})=\prod _{i=1}^{m}{\frac {p^{(\alpha _{i}+1)x}-1}{p_{i}^{x}-1}}=\prod _{i=1}^{m}\sum _{k=0}^{\alpha _{i}}p_{i}^{kx}

Таблица на стойностите за n<100[редактиране | редактиране на кода]

$\sigma (n)$	+0	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9
0+		1	3	4	7	6	12	8	15	13
1+	18	12	28	14	24	24	31	18	39	20
2+	42	32	36	24	60	31	42	40	56	30
3+	72	32	63	48	54	48	91	38	60	56
4+	90	42	96	44	84	78	72	48	124	57
5+	93	72	98	54	120	72	120	80	90	60
6+	168	62	96	104	127	84	144	68	126	96
7+	144	72	195	74	114	124	140	96	168	80
8+	186	121	126	84	224	108	132	120	180	90
9+	234	112	168	128	144	120	252	98	171	156

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

Алгебрични свойства[редактиране | редактиране на кода]

В пръстена на аритметичните функции σ-функцията е елемент от подгрупата на мултипликативните функции, като ^[2]: $\sigma _{x}=\iota _{0}*\iota _{x}.\,$ Инверсните елементи на σ_x-функциите в тази група са функциите^[3]:

\left(\sigma _{x}^{-1}\right)(p^{k})={\begin{cases}1{\text{,}}&k=0\\-1-p^{x}{\text{,}}&k=1\\p^{x}{\text{,}}&k=2\\0{\text{,}}&k>2\end{cases}}

Може да се покаже^[3], че $\sigma _{x}^{-1}=(\iota _{x}\mu )*\mu \,$ , a в частния случай $x=0$ : $\sigma _{0}^{-1}=\mu ^{2}\,$ , както и^[2]: $\sigma _{-x}=\iota _{-x}\sigma _{x}.\,$

Редове на Дирихле[редактиране | редактиране на кода]

Следствие от зависимостта $\sigma _{x}=\iota _{0}*\iota _{x}\,$ е тъждеството за представяне на реда на Дирихле:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{x}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\cdot \zeta (s-x)

За комплексни $z$ такива, че реалните части на $z$ , $z-x$ , ^[4]:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{x}(n)\sigma _{y}(n)}{n^{z}}}={\frac {\zeta (z)\zeta (z-x)\zeta (z-y)\zeta (z-x-y)}{\zeta (2z-x-y)}}

Осреднена стойност на σ-функциите[редактиране | редактиране на кода]

За осреднената стойност на σ_x-функциите са доказани (за s>1) приблизителните оценки^[5]^,^[6]^,^[7]:

\sum _{n\leq s}\sigma _{x}(n)={\begin{cases}{\frac {\pi ^{2}}{12}}s^{2}+O(s\ln s){\text{,}}&x=1\\{\frac {\zeta (x+1)}{x+1}}s^{x+1}+O\left(s^{\max\{1,x\}}\right){\text{,}}&x>0,\ x\neq 1\\{\frac {\pi ^{2}}{6}}s+O(\ln s){\text{,}}&x=-1\\\zeta (1-x)s+O\left(s^{\max\{0,1+x\}}\right){\text{,}}&x<0,\ x\neq -1\end{cases}}

Други осреднени стойности[редактиране | редактиране на кода]

Нека $m$ е цяло число по-голямо от единица, а $f_{m}(s)$ да са дефинирани както следва:

f_{m}(s)={\frac {1}{s^{m}}}\left(\sum _{n\leq s}\sigma _{m}(n)-{\frac {s^{m+1}}{k+1}}\zeta (m+1)\right).

В сила е:^[8]

\limsup _{s\rightarrow \infty }f_{m}(s)={\frac {1}{2}}\zeta (m)

\liminf _{s\rightarrow \infty }f_{m}(s)=-{\frac {1}{2}}\zeta (m)

Може да се покаже, че:^[9],^,^[10]

\sum _{n\leq s}\sigma _{-1}(n)={\frac {\pi ^{2}}{6}}s-{\frac {1}{2}}\ln s+O(\ln ^{2/3}s)

Нека $x>0$ . Доказани са^[11]^,^[12]^,^[13]:

\sum _{n\leq s}\sigma _{x}^{2}(n)={\frac {\zeta (2x+1)\zeta ^{2}(x+1)}{(2x+1)\zeta (2x+2)}}s^{2x+1}+{\begin{cases}O(s^{2x}){\text{,}}&x>1\\O(s^{2}\ln ^{5/3}s){\text{,}}&x=1\\O(s^{3/2}\ln ^{2}s){\text{,}}&x={\frac {1}{2}}\\O(s^{x+1}\ln s){\text{,}}&x<1,\ x\neq {\frac {1}{2}}\end{cases}}

За полиноми $f(n)$ с цели коефициенти и $x\in [-1;0)$ е в сила:^[14]^,^[15]

\sum _{n\leq s \atop f(n)\neq 0}\sigma _{x}(f(n))=c_{f}(x)s+O(s^{1+x}\ln ^{C}s)

Тук

C

е константа, а

c_{f}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{{k|f(n)} \atop {0<n\leq k}}k^{x-1}.

За $0<x<1$ :^[16]

\sum _{m,n\leq s}\sigma _{x}(n^{2}+m^{2})=s^{2+2x}\cdot \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(t^{2}+u^{2})^{x}\mathrm {d} t\mathrm {d} u+O(s^{2+x}\ln s)

Неравенства[редактиране | редактиране на кода]

Оценки на σ(n)[редактиране | редактиране на кода]

За всяко $n$ различно от 1,2,3,4,6 и 8 е изпълнено (неравенство на Анапурна)^,^[17]^,^[18]:

\sigma (n)<{\frac {6}{\pi ^{2}}}\cdot n^{\frac {3}{2}}

За всяко съставно $n$ (неравенство на Серпински)^[19]^,^[18]^,^[20]:

\sigma (n)>n+n^{\frac {1}{2}}

За всяко $n>30$ e в сила:

\sigma ^{\perp }(n)<{\frac {28}{15}}\cdot n\ln \ln n.

^[21]

Оценки σ(n)/n[редактиране | редактиране на кода]

Неравенство на Сатианараиана^[19]^,^[22]^,^[23]:

\sigma _{-1}(n)<2^{1-(n{\bmod {2}})}\left({\frac {3}{2}}\right)^{\omega (n)}

където

\omega (n)

представлява броят на различните прости делители на

n

.^[24]

Връзка между σ(n) и 4φ(n)[редактиране | редактиране на кода]

Нека $n$ e четно и $4\varphi (n)=\sigma (n)$ . Тогава^[25]:

4n\leq \sigma (2n)

Нека $n$ e нечетно и $\varphi (n)\leq \sigma (n)$ . Тогава^[25]:

4n<\sigma (2n)\,

Нека с $P(n)$ е означен най-големият прост делител на $n$ . В сила е:^[26]

\sigma (n)\leq 4^{(n{\bmod {2}})}\varphi (n)P(n)

Други неравенства[редактиране | редактиране на кода]

За всеки две цели числа $m$ и $n$ по-големи от единица:^[27]

\sigma (mn)>\sigma (n)+\sigma (m)\,

За всяко съставно $n$ :^[28]

{\frac {\sigma (n)}{\Omega (n)}}\leq n,

където $\Omega (n)$ е броят на простите делители на $n$ .^[24]

Неравенство на Лангфорд^[19]^,^[29]:

\sigma (n)\leq {\frac {1}{2}}(n+1)\sigma _{0}(n)

като равенството е изпълнено тогава и само тогава когато

n

e просто число.

За всеки две естесвени $n$ и $m$ (неравенство на Сиварамакришнан-Венкатараман)^[19]:

\sigma _{m}(n)\geq n^{\frac {m}{2}}\cdot \sigma _{0}(n)

Може да се докаже и следното неравенство:

\sum _{n\leq s}\sigma _{-1}^{2}(n)\leq s\cdot \zeta ^{2}\left({\frac {3}{2}}\right)

^[30]^,^[31]

Други свойства[редактиране | редактиране на кода]

$\sum _{n=1}^{m}\sigma (n)=\sum _{n=1}^{m}n\cdot \left[{\frac {m}{n}}\right]$ ^[30]
$n\sigma (n)\equiv 2\ {\bmod {\ \varphi (n)}}\Rightarrow n\in \{4,\ 6,\ 22\}\cup \{p:p\ \mathrm {prime} \}$ ^[32]
$Card(\{m:m\leq n;\ \sigma (m)\equiv a({\bmod {m}})\})=O\left({\frac {n}{\ln n}}\right)$ ^[33]
Функцията

f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}

f(\lambda )=\lim _{s\rightarrow \infty }{\frac {1}{s}}\cdot Card(\{n:\lambda \leq \sigma _{-1}(n);\ n\leq s\})

е дефинирана и непрекъсната във всяка реална точка λ.^[34]

Приложения[редактиране | редактиране на кода]

σ-функцията, както и останалите мултипликативни аритметични функции (по-сп. τ-, φ-, μ-, ψ-, а също така немултипликативните Λ-, Ω- и ω- функции), са от повече от век обект на интензивни изследвания поради връзката им (чрез редовете на Дирихле) с ζ-функцията и поради свързаните с евентуални нови резултати около тях надежди за решаване на шестия „проблем на хилядолетието“ (доказателство на хипотезата на Риман) или за поне частични успехи по други все още незадоволително решени въпроси от теорията на числата.

През 1915 Ингам дава елегантно доказателство за липсата на нули на ζ-функцията по оста $Re[z]=1$ използвайки формулата на Рамануджан и по-специално частния ѝ случай:^[35]

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}^{2}(n)}{n^{z}}}={\frac {\zeta ^{4}(z)}{\zeta (2z)}}.

Значението на изследването на σ-функцията показва доказаната от Робин зависимост: хипотезата на Риман е вярна тогава и само тогава, когато неравенството

(\#)\qquad f(n)={\frac {\sigma (n)}{n\ln \ln n}}<e^{\gamma },\,

е вярно за всяко $n>5040$ , където $\gamma =0.5772...$ е константата на Ойлер – Маскерони. Най-дорият известен резултат в тази посока е на Ердьош (1989):^[36]

f(n)<e^{\gamma }-{\frac {2{\sqrt {2}}-2-\gamma +\ln(4\pi )}{\ln ^{\frac {1}{2}}n\cdot \ln \ln n}}+O(\ln ^{-{\frac {1}{2}}}n\cdot \ln ^{-2}\ln n).

Появата на константата $e^{\gamma }$ в тези неравенства не е случайна. Още през 1913 е доказано, че

\limsup _{n\rightarrow \infty }f(n)=e^{\gamma }.\,

тоест, че дадената в неравенството (#) горна граница за $f(n)$ не може да бъде подобрена (теорема на Грьонвал (Гронуол)).

Еквивалентно с верността на хипотезата на Риман е и неравенството^[37]

\sigma (n)\leq H_{n}+e^{H_{n}}\cdot \ln H_{n},

където $\{H\}_{n}$ е редицата на хармоничните числа. Хипотезата на Оре дава връзка между σ-функцията и друг костелив проблем от теория на числа: въпроса за съществуването на нечетни съвършени числа.

Интересни приложения на σ-функцията в адитивната теория на числата показва теоремата на Якоби (броят на различните представяния на $n$ като сума от четири квадрата е равен на $8\sigma (n)-32\sigma (n/4)$ за $n$ кратно на четири и на $8\sigma (n)$ в противен случай^[3]^,^[19]). Теоремата на Якоби и асимптотичната оценка за средната стойност на σ_x-функциите позволяват да се изследват проблеми от геометричната теория на числата. С тяхна помощ може например да се покаже, че броят на точки с цели координати в $n-$ мерно кълбо с радиус $r$ e равен (за $n>3$ ) на $V(r)r^{n/2}+O(r^{(r-1)/2}\ln r)$ , където с $V(r)$ е означен обема на кълбото^[19].

Обобщения и специални случаи[редактиране | редактиране на кода]

σ-функцията може да се обобщи и за гаусовите цели числа като:

\sigma (z)=\prod _{i=1}^{k}{\frac {\pi ^{\alpha _{i}+1}-1}{\pi _{i}-1}}

където $\{\pi _{i}\}_{i=1,...,N}\,$ са прости делители на $z$ , такива, че $\operatorname {Re} [\pi _{i}]>0$ , $\operatorname {Im} [\pi _{i}]\geq 0$ за всяко $i=1,...,N\,$ и

z=\varepsilon \prod _{i=1}^{k}\pi ^{\alpha _{i}}

за някой единичен елемент $\varepsilon .\,$ ^[38]^,^[18]

Бележки[редактиране | редактиране на кода]

↑ Няколко думи за използваните означения: В някои източници с σ* $(n)$ се обозначава сумата от онези делители $d$ на $n$ , за които $d$ и $(n/d)$ са взаимно прости. Ние ще бележим тази сума с σ^⊥. Функцията $\tau (n)$ често бива означавана с $d(n)$ . Със $\sigma ^{m}(n)$ ще бележим m-тата степен на $\sigma (n)$ : $\sigma ^{m}(n)=\sigma ^{m-1}(n)\sigma (n)$ , $\sigma ^{1}(n)=\sigma (n)$ , $\sigma ^{-m}(n)=1/\sigma ^{m}(n)$ . Под $\sigma ^{m}(n)$ понякога се разбира $m$ -тата итерация на σ-функцията. За итерациите на σ ще използаме означението: $\sigma ^{(m)}(n)=\sigma ^{(m-1)}(\sigma (n))$ , $\sigma ^{(1)}(n)=\sigma (n)$ , а с $\sigma ^{m}$ и $(\sigma ^{m})(n)$ ще бележим $m$ -тата степен на σ в групата на мултипликативните функции: $\sigma ^{m}=\sigma ^{m-1}*\sigma$ , $\sigma ^{1}=\sigma$ , $\sigma ^{m}=\sigma ^{-m}*$ ε (тук $*$ означава конволюция на Дирихле).
↑ ^а ^б Bundschuh, P., Einführung in die Zahlentheorie, Springer-Verlag, 1991, ISBN 3-540-55178-6, 1.4.10
↑ ^а ^б ^в Siemon, H., Einführung in die Zahlentheorie, Verlag Dr. Kovac, Hamburg, 2002, ISSN 1435 – 6511, 5.5, 8.15.4 и 8.7
↑ Двенадцать лекций о Рамануджане, 2002, ISBN 5-93972-123-0, лекция IV (4.3)
↑ Apostol, T. M., Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1976, ISBN 0-387-90163-9, 3.6
↑ Оценката на грешката $O(s(\ln(s)))$ при $x=1$ е дадена още от Дирихле в книгата му Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie. По-прецизна е оценката на Валфиц: $O(s(\ln ^{2/3}(s)))$ (Walfisz A., Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie, Berlin, 1963). Виж. още Macleod R. A., Fractional part sums and divisors functions, Number Theory, 14, (1982), стр. 185 – 227. Грешката със сигурност не е $o(x\ln(\ln(x))$ (Gronwall T. H., Some asymptotic expressions in the theory of numbers, Trans. Amer. Math. Soc., 14, 1913, стр. 113 – 122).
↑ За случая $x=0$ виж. задача на Дирихле.
↑ MacLeod R. A., An external result for divisor functions, J. Number Theory, 23, 1986, стр. 365 – 366
↑ Walfisz A., Weylsche Exponentialsummen in der neuren Zahlentheorie, Berlin, 1963
↑ Многобройни изследвания на тази осреднена стойност има и Y. F.-S. Peteremann.
↑ Ramanujan S., Some formulae in the analytic theory of numbers, Messanger Math., 45, 1916, стр. 81 – 84
↑ Toth L., Generalizations of an asymptotic formula of Ramanujan, Studia Univ. „Babes-Bolyai“, 31, 1986, стр. 9 – 15
↑ Smith R. A., An error term of Ramanujan, J. Numer Theory, 2, 1970, стр. 91 – 96
↑ Erdos P., On some problems of Bellman and a theorem of Romanoff, J. Chise Math. Soc. (N.S.), 1, 1951
↑ Babaev G., Gafurov N., Ismoilov D., Some asymptotic formulas connected with divisors of polynomials, Trudy Mat. Inst. Steklov, 163, 1984, стр. 10 – 18
↑ Gafurov N., Asymptotic formulas for the sum of powers of divisors of the quadratic form, Dokl. Akad. Nauk. Tadzhik SSR, 32, 1989, стр. 427 – 431
↑ Annapurna V., Inequalities of σ(n) and φ(n), Math. Mag., 45, 1972, стр. 187 – 190
↑ ^а ^б ^в Mitrinovic D. S., Sandor J., Crstici B., Handbook of Number Theory, Kluwer Academic Publishers, 1996, ISBN 0-7923-3823-5, III.
↑ ^а ^б ^в ^г ^д ^е E. Krätzel, Zahlentherie, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaft, Berlin, 1981, 5.9, 6.2 и 6.6
↑ Sierpinski W., Elemntary theory of numbers, Warszawa, 1964
↑ , Ivic A., Two inequalties for the sum of divisor function, Univ. u Novom Sadu Zb. Rad. Prirod.-Mat. Fak., 7, стр. 17 – 22"
↑ Satyanarayana M., Bounds of σ(N), Math. Student, 28, 1960, стр. 79 – 81
↑ В сила е нещо повече (J. Sandor и Handbook of Number Theory, 1996, III.1): Нека $m$ и $n$ са естесвени числа, a $B(m,n)=\Pi ((p^{m}-1)/(p-1))$ , където $p$ пробягва всички прости делители на $n$ . Нека още $\gamma (n)$ е произведението на различните прости делители на $n$ , тогава: $B(m,n)\sigma _{-m}(n)(\gamma (n))^{1-m}<2^{1-(n{\pmod {2}})}(3/2)^{\omega (n)-1+(n{\pmod {2}})}$ . Както наблюдателният читател вече сигурно е забелязал, неравенство на Сатианараиана е частен случай на това неравенство за $k=1$ и нечетно $n$ , а за четни $n$ посоченото неравенство представлява негово подобрение. Друго подобрение дава Duncan R. L., Some estimates for σ(n), Amer. Math. Monthly, 74, 1967, стр. 713 – 715: $\sigma (n)/n<(7\omega (n)+10)/6$ .
↑ ^а ^б Виж Омега-функция.
↑ ^а ^б Makowski A., Remarks on some problems in the elementary theory of numbers, Acta Math. Univ. Comenian, 50 , 51, 1987 стр. 277 – 281
↑ Atanassov K. T., Remarks on φ, σ and ohter functions, C.R. Acad. Bulgare Sci., 41, 1988, стр. 41 – 44
↑ Hundsucker J.L., Nebb J., Problem B 260, Fib. Quart., 11, 1973, 221 Solution, Bruckmna P.S., Fib. Quart., 12, 1974, стр. 223 – 224
↑ Sandor J., Remarks on two papers by K.T. Atanasov, Bull. Number Theory Rel. Topics, 12, 1988, стр. 56 – 59
↑ Mitrinovic D.S., Popadic M.S., Inequalities in the number theory, Nis, 1978, стр. 44
↑ ^а ^б Scheid, H., Zahlentheorie, BI-Wiss.-Verl., 1991, ISBN 3-411-14841-1, V.7.8 и V.7.22
↑ Това неравенство намира съществено приложение в доказателството на теоремата на Уоринг-Хилберт (виж. например в Scheid VII.7).
↑ Subbarao, M. V., On Two Congruences for Primality, Pacific J. Math. 52, 1974, стр. 261 – 268
↑ Pomerance C., On the congruences σ(n)≡a (mod n) and n≡a (mod φ(n)), Acta. Arith., 26, 1975, стр. 265 – 272
↑ Davenport H., Über numeri abundantes, Preuss. Akad. Wiss. Sitzungsber, 26-29, 1933, стр. 830 – 837
↑ Харди, Г., Двенадцать лекций о Рамануджане, 2002, ISBN 5-93972-123-0, лекция IV (4.3)
↑ Нервенство без символи на Ландау: $f(n)<e^{\gamma }+0.6482(\ln(\ln(n)))^{-2}$ (доказателство на Robin G., Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypoth`ese de Riemann, J. Math. Pures Appl., 63, 1984, стр. 187 – 213)
↑ Lagarias J. C, An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis, Amer. Math. Monthly, 109 (2002), стр.534 – 543, (в диг. форм. постскрипт)
↑ Тази дефиниция позволява да се въведе понятието гаусови съвършени числа: $\sigma (z)=(i+i)z$ и гаусови нормалносъвършени числа: $|\sigma (z)|=2|z|.$