Числа на Фибоначи

Числата на Фибоначи в математиката образуват редица, която се дефинира рекурсивно по следния начин:

• F(0) = 1
• F(1) = 1
• F(n) = F(n-1) + F(n-2)

Започва се с 0 и 1, а всеки следващ член на редицата се получава като сума на предходните два. Първите няколко числа на Фибоначи са

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...

Ето някои от основните свойства на числата на Фибоначи:

• (F(n),F(m))=F((m,n)) т.е. НОД на числата F(n) и F(m) e число на Фибоначи с индекс НОД(m,n)

• F(n+k)=F(k-1)*F(n) + F(k)*F(n+1)

• F(k)/F(kn) за произволно n

• Отношенията ${\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$ са приближени дроби на златното сечение φ и по-специално $\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\phi$.

Числата на Фибоначи могат да се бележат и с u(n).

По-надолу можете да разгледате първите 100 члена на тази редица.

Произход

Италианският математик Леонардо Фибоначи публикува през 1202 г. редица от числа, всяко от които се получава като сума от предходните две, като първите две числа са 1 и 1: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… Той е научил за тази редица от числа по време на пътешествията си в страните от тогавашния Изток и редицата е била наречена на негово име, защото я е популяризирал.

Оказва се, че колкото по-големи са числата от редицата на Фибоначи, толкова отношението на двете последни числа се приближава до 'златното сечение' и при граничен преход (при безкраен брой числа в редицата) става равно на 'златното сечение'.

Често редицата на Фибоначи се свързва и със следната задача: Чифт зайци (мъжки и женски екземпляр) могат да произведат за единица време (напр. един месец) нов чифт зайци, които продължават да се размножават (в класическата задача на Фибоначи на новородения чифт зайци са му необходими два месеца, за да дадат първото си поколение, след което продължават да се размножават всеки месец). Колко е броят на живите чифтове зайци след определено време, ако никой не унищожава зайците? Отговорът се дава от последното число в редицата на Фибоначи. Разбира се, тази задача е чисто илюстративна.

Оказва се обаче, че твърде много закономерности, наблюдавани в природата и в поведението на човека, могат да се опишат, макар и с някаква по-малка или по-голяма грешка, с числа от редицата на Фибоначи, въпреки че в някои случаи това обяснение може да изглежда преднамерено.

Всъщност алгоритъмът за образуване на поредното число от редицата на Фибоначи изразява факта, че следствието (последното число от реда) зависи от предисторията (причините) по конкретния за тази редица начин, а именно: последното число е сума от двете предходни числа. Така този алгоритъм се включва в категорията на т. нар. рекурентни формули. Доколко с алгоритъма на 'златното сечение' могат да се обяснят природни и човешки феномени зависи именно от това, доколко тези феномени са подчиняват на горната проста и същевременно съответстваща добре на 'здравия разум' рекурентна зависимост на следствието от причините, които го пораждат. До Фибоначи основните алгоритми за описване на възпроизвеждащи формули са били аритметичната и геометричната прогресия.

Първите 200 числа на Фибоначи

пореден номер | число на Фибоначи

           1 |                     1
           2 |                     1
           3 |                     2
           4 |                     3
           5 |                     5
           6 |                     8
           7 |                    13
           8 |                    21
           9 |                    34
          10 |                    55
          11 |                    89
          12 |                   144
          13 |                   233
          14 |                   377
          15 |                   610
          16 |                   987
          17 |                  1597
          18 |                  2584
          19 |                  4181
          20 |                  6765
          21 |                 10946
          22 |                 17711
          23 |                 28657
          24 |                 46368
          25 |                 75025
          26 |                121393
          27 |                196418
          28 |                317811
          29 |                514229
          30 |                832040
          31 |               1346269
          32 |               2178309
          33 |               3524578
          34 |               5702887
          35 |               9227465
          36 |              14930352
          37 |              24157817
          38 |              39088169
          39 |              63245986
          40 |             102334155
          41 |             165580141
          42 |             267914296
          43 |             433494437
          44 |             701408733
          45 |            1134903170
          46 |            1836311903
          47 |            2971215073
          48 |            4807526976
          49 |            7778742049
          50 |           12586269025
          51 |           20365011074
          52 |           32951280099
          53 |           53316291173
          54 |           86267571272
          55 |          139583862445
          56 |          225851433717
          57 |          365435296162
          58 |          591286729879
          59 |          956722026041
          60 |         1548008755920
          61 |         2504730781961
          62 |         4052739537881
          63 |         6557470319842
          64 |        10610209857723
          65 |        17167680177565
          66 |        27777890035288
          67 |        44945570212853
          68 |        72723460248141
          69 |       117669030460994
          70 |       190392490709135
          71 |       308061521170129
          72 |       498454011879264
          73 |       806515533049393
          74 |      1304969544928657
          75 |      2111485077978050
          76 |      3416454622906707
          77 |      5527939700884757
          78 |      8944394323791464
          79 |     14472334024676221
          80 |     23416728348467685
          81 |     37889062373143906
          82 |     61305790721611591
          83 |     99194853094755497
          84 |    160500643816367088
          85 |    259695496911122585
          86 |    420196140727489673
          87 |    679891637638612258
          88 |   1100087778366101931
          89 |   1779979416004714189
          90 |   2880067194370816120
          91 |   4660046610375530309
          92 |   7540113804746346429
          93 |  12200160415121876738
          94 |  19740274219868223167
          95 |  31940434634990099805
          96 |  51680708854858323072
          97 |  83621143489848422977
          98 | 135301852344706746049
          99 | 218922995834555169026
         100 | 354224848179261915075
         101 | 573147844013817084101
         102 | 927372692193078999176
         103 | 1500520536206896083277
         104 | 2427893228399975082453
         105 | 3928413764606871165730
         106 | 6356306993006846248183
         107 | 10284720757613717413913
         108 | 16641027750620563662096
         109 | 26925748508234281076009
         110 | 43566776258854844738105
         111 | 70492524767089125814114
         112 | 114059301025943970552219
         113 | 184551825793033096366333
         114 | 298611126818977066918552
         115 | 483162952612010163284885
         116 | 781774079430987230203437
         117 | 1264937032042997393488322
         118 | 2046711111473984623691759
         119 | 3311648143516982017180081
         120 | 5358359254990966640871840
         121 | 8670007398507948658051921
         122 | 14028366653498915298923761
         123 | 22698374052006863956975682
         124 | 36726740705505779255899443
         125 | 59425114757512643212875125
         126 | 96151855463018422468774568
         127 | 155576970220531065681649693
         128 | 251728825683549488150424261
         129 | 407305795904080553832073954
         130 | 659034621587630041982498215
         131 | 1066340417491710595814572169
         132 | 1725375039079340637797070384
         133 | 2791715456571051233611642553
         134 | 4517090495650391871408712937
         135 | 7308805952221443105020355490
         136 | 11825896447871834976429068427
         137 | 19134702400093278081449423917
         138 | 30960598847965113057878492344
         139 | 50095301248058391139327916261
         140 | 81055900096023504197206408605
         141 | 131151201344081895336534324866
         142 | 212207101440105399533740733471
         143 | 343358302784187294870275058337
         144 | 555565404224292694404015791808
         145 | 898923707008479989274290850145
         146 | 1454489111232772683678306641953
         147 | 2353412818241252672952597492098
         148 | 3807901929474025356630904134051
         149 | 6161314747715278029583501626149
         150 | 9969216677189303386214405760200
         151 | 16130531424904581415797907386349
         152 | 26099748102093884802012313146549
         153 | 42230279526998466217810220532898
         154 | 68330027629092351019822533679447
         155 | 110560307156090817237632754212345
         156 | 178890334785183168257455287891792
         157 | 289450641941273985495088042104137
         158 | 468340976726457153752543329995929
         159 | 757791618667731139247631372100066
         160 | 1226132595394188293000174702095995
         161 | 1983924214061919432247806074196061
         162 | 3210056809456107725247980776292056
         163 | 5193981023518027157495786850488117
         164 | 8404037832974134882743767626780173
         165 | 13598018856492162040239554477268290
         166 | 22002056689466296922983322104048463
         167 | 35600075545958458963222876581316753
         168 | 57602132235424755886206198685365216
         169 | 93202207781383214849429075266681969
         170 | 150804340016807970735635273952047185
         171 | 244006547798191185585064349218729154
         172 | 394810887814999156320699623170776339
         173 | 638817435613190341905763972389505493
         174 | 1033628323428189498226463595560281832
         175 | 1672445759041379840132227567949787325
         176 | 2706074082469569338358691163510069157
         177 | 4378519841510949178490918731459856482
         178 | 7084593923980518516849609894969925639
         179 | 11463113765491467695340528626429782121
         180 | 18547707689471986212190138521399707760
         181 | 30010821454963453907530667147829489881
         182 | 48558529144435440119720805669229197641
         183 | 78569350599398894027251472817058687522
         184 | 127127879743834334146972278486287885163
         185 | 205697230343233228174223751303346572685
         186 | 332825110087067562321196029789634457848
         187 | 538522340430300790495419781092981030533
         188 | 871347450517368352816615810882615488381
         189 | 1409869790947669143312035591975596518914
         190 | 2281217241465037496128651402858212007295
         191 | 3691087032412706639440686994833808526209
         192 | 5972304273877744135569338397692020533504
         193 | 9663391306290450775010025392525829059713
         194 | 15635695580168194910579363790217849593217
         195 | 25299086886458645685589389182743678652930
         196 | 40934782466626840596168752972961528246147
         197 | 66233869353085486281758142155705206899077
         198 | 107168651819712326877926895128666735145224
         199 | 173402521172797813159685037284371942044301
         200 | 280571172992510140037611932413038677189525

Външни препратки

Сайт с информация за числото Фи (на английски)