Степенуване

Степенуването е съкратен запис на произведение на еднакви множители.

Математическо определение

Произведението от "n" на брой равни на множители на "a", където "n" е естествено число, се записва като "aⁿ" и се нарича степен с основа "a" и степен "n".
Целият този процес се нарича повдигане на степен или стeпенуване. Изразът "$\; 5^3$" се чете "пет на трета степен,пет на степен трета или пет на трета (степен)" или "пет на трета". Две от степените "на втора" и "на трета" могат да се четат и като "на квадрат" и "на куб". Така "$\; 5^2$" може да се прочете като "пет на квадрат".

Когато работим с числа обикновено ги опростяваме: използваме "27" вместо "$\; 3^3$", но когато работим с променливи използваме "$\; x^6$" вместо "$\; xxxxxx$".

Правила

При степенуването може да се използват следните правила, за да се опростят математически изрази включващи степенуване.

За да се опрости израза, трябва да се заменим с това което той означава. "на трета" означава да "умножим три пъти", "на четвърта" - "да умножим четири пъти". Използвайки това може да се разшири израза и след това да се опрости.

$\; (x^3)(x^4) = (xxx)(xxxx) = xxxxxxx = x^7$

Следователно $\; x^7$ е равно на $\; x^{(3+4)}$.

• Първото правило при степенуването:

Умножение на степенни изрази с еднаква база може да се представи като база със степенен показател равен на сумата от степенните показатели както в израза:

$\; (x^m)(x^n) = x^{(m+n)}$

Нe може да се прилага това правило при изрази с различни бази. Например изразът $\; (x^4)(y^3)$ не може да се опрости, защото $\; (x^4)(y^3) = xxxxyyy = (x^4)(y^3)$ - и не е възможно комбинирането.

• Второто правилото при степенуването:

Използвайки същата логика може да се замести израза $\; {(x^2)}^4$ с неговото значение - "на четвърта" означава да се умножи четири пъти $\quad x^2$.

$\; {(x^2)}^4 = (x^2)(x^2)(x^2)(x^2) = (xx)(xx)(xx)(xx) = xxxxxxxx = x^8$.

Отново резултатът $\; x^8$ е равен на $\; x^{(2 \times 4)}$

В това се заключава правилото, че степенен израз повдигнат на степен може да се замени с израз, при който базата е повдигната на степен равна на произвeдeнието от стeпeнните показатели както в израза.

$\; {(x^m)}^n = x^{(m \times n)}$.

• Трето правило при степенуването:

При степенуване на произведение в скоби (Xy)³, то степента се прилага върху всеки множител от скобите:

$\; {(xy^2)}^3 = (xy^2)(xy^2)(xy^2) = (xxx)(y^2y^2y^2) = x^3y^6 = (x)^3{(y^2)}^3$.

И още един пример:

$\; \left( \frac{x}{y} \right)^2 = \frac{x^2}{y^2}$.

Погрешно ще бъде прилагането на това правило ако в скобите е записана сума или разлика, например:

$\quad (3+4)^2$ не може да стане $\quad 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$, защото резултатът е грешен. Правилното изчисление е $\quad (3+4)^2 = (7)^2 = 49$.

По-добре е да се запише според това, че "на квадрат" означава сумата или разликата да се умножи веднъж сама по себе си, така че $\; {(x - 2)}^2 = (x - 2)(x - 2) = xx - 2x - 2x + 4 = x^2 - 4x + 4$.

Макар и с по-дълъг запис, този начин намалява възможността от грешни действия извършени на ум.

Отрицателни степенни показатели

Отрицателният степенен показател показва, че базата е сложена от грешната страна спрямо дробната черта и трябва да се премести от другата страна. Например в израза $\; x^{-2}$ - "хикс на минус втора" - x е поставен в числителя $\; \frac{x^{-2}}{1}$ вместо в знаменателя. "Правилният" запис би бил $\; \frac{1}{(x)^2}$. Още няколко примера превръщащи отрицателната степен в положително число:

$\; x^{-4} = \frac{1x^{-4}}{1} = \frac{1}{x^4}$

$\; \frac{x^2}{x^{-3}} = \frac{1x^2}{1x^{-3}} = \frac{1x^2x^3}{1} = x^5$

$\; 2x^{-1} = \frac{2x^{-1}}{1} = \frac{2}{x^1} = \frac{2}{x}$

Забележете, че числото 2 не се мести заедно с променливата x.

$\; (3x)^{-2} = \frac{(3x)^{-2}}{1} = \frac{1}{(3x)^2} = \frac{1}{9x^2}$

За разлика от предния пример, тук скобите показват, че отрицателната степен трябва да се приложи и върху числото 3 в скобите, както и върху променливата.

$\; {\left( \frac{x^{-2}}{y^{-3}} \right)}^{-2} = \frac{(x^{-2})^{-2}}{(y^{-3})^{-2}} = \frac{(y^{-3})^2}{(x^{-2})^2} = \frac{y^{-6}}{x^{-4}} = \frac{x^4}{y^6}$

Същото може да се реши и така:

$\; {\left( \frac{x^{-2}}{y^{-3}} \right)}^{-2} = \frac{(x^{-2})^{-2}}{(y^{-3})^{-2}} = \frac{x^4}{y^6}$

Тъй като степените означават умножение, а при за умножението редът на множителите е без значение, често има повече от един начин за валидно опростяване на даден израз. Начинът е без значение стига стъпките да са правилни и да водят до един и същи отговор.

Дробни (Рационални) Степени

Обратното действие на степенуване е коренуване. Еднаквите стойности на корен и степенен показател се анулират един друг и резултата не се променя. Например:

$\; \sqrt[3]{2^3} = 2$

$\; \sqrt[4]{3^4} = 3$

Освен тази има и още една зависимост (която между другото прави изчисления подобни на горното много по-лесни): Корен квадратен или корен втори от дадено число може да се представи като степенуване със степен дроб, чийто числител е 1, а 2

$\; \sqrt 2 = 2^{ \frac {1}{2}}$

или

$\; \sqrt 4 = 4^{ \frac {1}{2}} = 2$

Съответно корен 3 и 4 и т.н. стават:

$\; \sqrt[3]8 = 8^{ \frac {1}{3}} = 2$

$\; \sqrt[4]81 = 81^{ \frac {1}{4}} = 3$

Така горните примери можем да ги запишем по следния начин:

$\; \sqrt[3]{2^3} = {(2^3)}^{ \frac {1}{3}} = {(2^{ \frac {3}{1}})^ \frac{1}{3}} = 2^{\frac{3}{1} \times \frac{1}{3}} = 2^1 = 2$

$\; \sqrt[4]{(3)^4} = (3^4)^{\frac{1}{4}} = (3^{\frac{4}{1}})^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{4}{1} \times \frac{1}{4}} = 3^1 = 3$

Ако се използва калкулатор дробния степенен показател трябва да се сложи в скоби — напр. $\; 15^{\frac{4}{5}}$ трябва да стана $\; 15^{(4/5)}$ защото иначе калкулатора ще приеме че е въведено $\; (15^4) \div 5$

Дробните степени позволяват по-голяма гъвкавост (което може да се види при много изчисления) и е по-лесно да се запише отколкото еквивалентния формат, като позволява изчисления, които иначе са невъзможни. Например:

$\; ( \sqrt[10]25)^5 = (25^{ \frac{1}{10}})^5 = 25^{ \frac{1}{10} \times \frac{5}{1}} = 25^{ \frac{1}{2}} = \sqrt 25 = 5$

Когато видите дробно число като степенен показател, помнете че винаги горното (числителя) е степенния показател, а долното (знаменателя) е корена. Например:

$\; 7^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]7^2 = (\sqrt[3]7)^2$

Някои степени под формата на десетична дроб, могат да се пренапишат така, че да станат обикновена дроб:

$\; 3^{5.5} = 3^{\frac{11}{2}}$

Като цяло, обаче, при десетичната степенна дроб (нещо различно от обикновена дроб или цяло число), трябва да го оставим така както е, или ако е необходимо да го изчислим с калкулатор. Например, $\; 3^{pi}$, където pi е приблизително равно на 3.14159, не можe да бъде опростено.

Външни препратки

• Оригиналната статия Exponents: Basic Rules е на The Purplemath