Степенуване

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Степенуването е съкратен запис на произведение на еднакви множители.

Математическо определение[редактиране | редактиране на кода]

Произведението от "n" на брой равни на множители на "a", където "n" е естествено число, се записва като "an" и се нарича степен с основа "a" и степен "n".
Целият този процес се нарича повдигане на степен или стeпенуване. Изразът "" се чете "пет на трета степен,пет на степен трета или пет на трета (степен)" или "пет на трета". Две от степените "на втора" и "на трета" могат да се четат и като "на квадрат" и "на куб". Така "" може да се прочете като "пет на квадрат".

Когато работим с числа обикновено ги опростяваме: използваме "27" вместо "", но когато работим с променливи използваме "" вместо "".

Правила[редактиране | редактиране на кода]

При степенуването може да се използват следните правила, за да се опростят математически изрази включващи степенуване.

За да се опрости израза, трябва да се заменим с това което той означава. "на трета" означава да "умножим три пъти", "на четвърта" - "да умножим четири пъти". Използвайки това може да се разшири израза и след това да се опрости.


Следователно е равно на .

  • Първото правило при степенуването:

Умножение на степенни изрази с еднаква база може да се представи като база със степенен показател равен на сумата от степенните показатели както в израза:

Нe може да се прилага това правило при изрази с различни бази. Например изразът не може да се опрости, защото - и не е възможно комбинирането.

  • Второто правилото при степенуването:

Използвайки същата логика може да се замести израза с неговото значение - "на четвърта" означава да се умножи четири пъти .

.

Отново резултатът е равен на

В това се заключава правилото, че степенен израз повдигнат на степен може да се замени с израз, при който базата е повдигната на степен равна на произвeдeнието от стeпeнните показатели както в израза.

.
  • Трето правило при степенуването:

При степенуване на произведение в скоби (Xy)3, то степента се прилага върху всеки множител от скобите:

.

И още един пример:

.


Погрешно ще бъде прилагането на това правило ако в скобите е записана сума или разлика, например:

не може да стане , защото резултатът е грешен. Правилното изчисление е .

По-добре е да се запише според това, че "на квадрат" означава сумата или разликата да се умножи веднъж сама по себе си, така че .

Макар и с по-дълъг запис, този начин намалява възможността от грешни действия извършени на ум.

Отрицателни степенни показатели[редактиране | редактиране на кода]

Отрицателният степенен показател показва, че базата е сложена от грешната страна спрямо дробната черта и трябва да се премести от другата страна. Например в израза - "хикс на минус втора" - x е поставен в числителя вместо в знаменателя. "Правилният" запис би бил . Още няколко примера превръщащи отрицателната степен в положително число:







Забележете, че числото 2 не се мести заедно с променливата x.



За разлика от предния пример, тук скобите показват, че отрицателната степен трябва да се приложи и върху числото 3 в скобите, както и върху променливата.



Същото може да се реши и така:



Тъй като степените означават умножение, а при за умножението редът на множителите е без значение, често има повече от един начин за валидно опростяване на даден израз. Начинът е без значение стига стъпките да са правилни и да водят до един и същи отговор.

Дробни (Рационални) Степени[редактиране | редактиране на кода]

Обратното действие на степенуване е коренуване. Еднаквите стойности на корен и степенен показател се анулират един друг и резултата не се променя. Например:





Освен тази има и още една зависимост (която между другото прави изчисления подобни на горното много по-лесни): Корен квадратен или корен втори от дадено число може да се представи като степенуване със степен дроб, чийто числител е 1, а 2



или



Съответно корен 3 и 4 и т.н. стават:





Така горните примери можем да ги запишем по следния начин:





Ако се използва калкулатор дробния степенен показател трябва да се сложи в скоби — напр. трябва да стана защото иначе калкулатора ще приеме че е въведено

Дробните степени позволяват по-голяма гъвкавост (което може да се види при много изчисления) и е по-лесно да се запише отколкото еквивалентния формат, като позволява изчисления, които иначе са невъзможни. Например:



Когато видите дробно число като степенен показател, помнете че винаги горното (числителя) е степенния показател, а долното (знаменателя) е корена. Например:



Някои степени под формата на десетична дроб, могат да се пренапишат така, че да станат обикновена дроб:



Като цяло, обаче, при десетичната степенна дроб (нещо различно от обикновена дроб или цяло число), трябва да го оставим така както е, или ако е необходимо да го изчислим с калкулатор. Например, , където pi е приблизително равно на 3.14159, не можe да бъде опростено.

Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]