Степенуване

Степенуването е съкратен запис на произведение на еднакви множители.

Математическо определение

Произведението от "n" на брой равни на множители на "a", където "n" е естествено число, се записва като "aⁿ" и се нарича степен с основа "a" и степен "n".
Целият този процес се нарича повдигане на степен или стeпенуване. Изразът "$\;5^{3}$$\;5^{3}$" се чете "пет на трета степен,пет на степен трета или пет на трета (степен)" или "пет на трета". Две от степените "на втора" и "на трета" могат да се четат и като "на квадрат" и "на куб". Така "$\;5^{2}$$\;5^{2}$" може да се прочете като "пет на квадрат".

Когато работим с числа обикновено ги опростяваме: използваме "27" вместо "$\;3^{3}$$\;3^{3}$", но когато работим с променливи използваме "$\;x^{6}$$\;x^{6}$" вместо "$\;xxxxxx$$\;xxxxxx$".

Правила

При степенуването може да се използват следните правила, за да се опростят математически изрази включващи степенуване.

За да се опрости израза, трябва да се заменим с това което той означава. "на трета" означава да "умножим три пъти", "на четвърта" - "да умножим четири пъти". Използвайки това може да се разшири израза и след това да се опрости.

$\;(x^{3})(x^{4})=(xxx)(xxxx)=xxxxxxx=x^{7}$$\;(x^{3})(x^{4})=(xxx)(xxxx)=xxxxxxx=x^{7}$

Следователно $\;x^{7}$$\;x^{7}$ е равно на $\;x^{(3+4)}$$\;x^{{(3+4)}}$.

• Първото правило при степенуването:

Умножение на степенни изрази с еднаква база може да се представи като база със степенен показател равен на сумата от степенните показатели както в израза:

$\;(x^{m})(x^{n})=x^{(m+n)}$$\;(x^{m})(x^{n})=x^{{(m+n)}}$

Нe може да се прилага това правило при изрази с различни бази. Например изразът $\;(x^{4})(y^{3})$$\;(x^{4})(y^{3})$ не може да се опрости, защото $\;(x^{4})(y^{3})=xxxxyyy=(x^{4})(y^{3})$$\;(x^{4})(y^{3})=xxxxyyy=(x^{4})(y^{3})$ - и не е възможно комбинирането.

• Второто правилото при степенуването:

Използвайки същата логика може да се замести израза $\;{(x^{2})}^{4}$$\;{(x^{2})}^{4}$ с неговото значение - "на четвърта" означава да се умножи четири пъти $\quad x^{2}$$\quad x^{2}$.

$\;{(x^{2})}^{4}=(x^{2})(x^{2})(x^{2})(x^{2})=(xx)(xx)(xx)(xx)=xxxxxxxx=x^{8}$$\;{(x^{2})}^{4}=(x^{2})(x^{2})(x^{2})(x^{2})=(xx)(xx)(xx)(xx)=xxxxxxxx=x^{8}$.

Отново резултатът $\;x^{8}$$\;x^{8}$ е равен на $\;x^{(2\times 4)}$$\;x^{{(2\times 4)}}$

В това се заключава правилото, че степенен израз повдигнат на степен може да се замени с израз, при който базата е повдигната на степен равна на произвeдeнието от стeпeнните показатели както в израза.

$\;{(x^{m})}^{n}=x^{(m\times n)}$$\;{(x^{m})}^{n}=x^{{(m\times n)}}$.

• Трето правило при степенуването:

При степенуване на произведение в скоби (Xy)³, то степента се прилага върху всеки множител от скобите:

$\;{(xy^{2})}^{3}=(xy^{2})(xy^{2})(xy^{2})=(xxx)(y^{2}y^{2}y^{2})=x^{3}y^{6}=(x)^{3}{(y^{2})}^{3}$$\;{(xy^{2})}^{3}=(xy^{2})(xy^{2})(xy^{2})=(xxx)(y^{2}y^{2}y^{2})=x^{3}y^{6}=(x)^{3}{(y^{2})}^{3}$.

И още един пример:

$\;\left({\frac {x}{y}}\right)^{2}={\frac {x^{2}}{y^{2}}}$$\;\left({\frac {x}{y}}\right)^{2}={\frac {x^{2}}{y^{2}}}$.

Погрешно ще бъде прилагането на това правило ако в скобите е записана сума или разлика, например:

$\quad (3+4)^{2}$$\quad (3+4)^{2}$ не може да стане $\quad 3^{2}+4^{2}=9+16=25$$\quad 3^{2}+4^{2}=9+16=25$, защото резултатът е грешен. Правилното изчисление е $\quad (3+4)^{2}=(7)^{2}=49$$\quad (3+4)^{2}=(7)^{2}=49$.

По-добре е да се запише според това, че "на квадрат" означава сумата или разликата да се умножи веднъж сама по себе си, така че $\;{(x-2)}^{2}=(x-2)(x-2)=xx-2x-2x+4=x^{2}-4x+4$$\;{(x-2)}^{2}=(x-2)(x-2)=xx-2x-2x+4=x^{2}-4x+4$.

Макар и с по-дълъг запис, този начин намалява възможността от грешни действия извършени на ум.

Отрицателни степенни показатели

Отрицателният степенен показател показва, че базата е сложена от грешната страна спрямо дробната черта и трябва да се премести от другата страна. Например в израза $\;x^{-2}$$\;x^{{-2}}$ - "хикс на минус втора" - x е поставен в числителя $\;{\frac {x^{-2}}{1}}$$\;{\frac {x^{{-2}}}{1}}$ вместо в знаменателя. "Правилният" запис би бил $\;{\frac {1}{(x)^{2}}}$$\;{\frac {1}{(x)^{2}}}$. Още няколко примера превръщащи отрицателната степен в положително число:

$\;x^{-4}={\frac {1x^{-4}}{1}}={\frac {1}{x^{4}}}$$\;x^{{-4}}={\frac {1x^{{-4}}}{1}}={\frac {1}{x^{4}}}$

$\;{\frac {x^{2}}{x^{-3}}}={\frac {1x^{2}}{1x^{-3}}}={\frac {1x^{2}x^{3}}{1}}=x^{5}$$\;{\frac {x^{2}}{x^{{-3}}}}={\frac {1x^{2}}{1x^{{-3}}}}={\frac {1x^{2}x^{3}}{1}}=x^{5}$

$\;2x^{-1}={\frac {2x^{-1}}{1}}={\frac {2}{x^{1}}}={\frac {2}{x}}$$\;2x^{{-1}}={\frac {2x^{{-1}}}{1}}={\frac {2}{x^{1}}}={\frac {2}{x}}$

Забележете, че числото 2 не се мести заедно с променливата x.

$\;(3x)^{-2}={\frac {(3x)^{-2}}{1}}={\frac {1}{(3x)^{2}}}={\frac {1}{9x^{2}}}$$\;(3x)^{{-2}}={\frac {(3x)^{{-2}}}{1}}={\frac {1}{(3x)^{2}}}={\frac {1}{9x^{2}}}$

За разлика от предния пример, тук скобите показват, че отрицателната степен трябва да се приложи и върху числото 3 в скобите, както и върху променливата.

$\;{\left({\frac {x^{-2}}{y^{-3}}}\right)}^{-2}={\frac {(x^{-2})^{-2}}{(y^{-3})^{-2}}}={\frac {(y^{-3})^{2}}{(x^{-2})^{2}}}={\frac {y^{-6}}{x^{-4}}}={\frac {x^{4}}{y^{6}}}$$\;{\left({\frac {x^{{-2}}}{y^{{-3}}}}\right)}^{{-2}}={\frac {(x^{{-2}})^{{-2}}}{(y^{{-3}})^{{-2}}}}={\frac {(y^{{-3}})^{2}}{(x^{{-2}})^{2}}}={\frac {y^{{-6}}}{x^{{-4}}}}={\frac {x^{4}}{y^{6}}}$

Същото може да се реши и така:

$\;{\left({\frac {x^{-2}}{y^{-3}}}\right)}^{-2}={\frac {(x^{-2})^{-2}}{(y^{-3})^{-2}}}={\frac {x^{4}}{y^{6}}}$$\;{\left({\frac {x^{{-2}}}{y^{{-3}}}}\right)}^{{-2}}={\frac {(x^{{-2}})^{{-2}}}{(y^{{-3}})^{{-2}}}}={\frac {x^{4}}{y^{6}}}$

Тъй като степените означават умножение, а при за умножението редът на множителите е без значение, често има повече от един начин за валидно опростяване на даден израз. Начинът е без значение стига стъпките да са правилни и да водят до един и същи отговор.

Дробни (Рационални) Степени

Обратното действие на степенуване е коренуване. Еднаквите стойности на корен и степенен показател се анулират един друг и резултата не се променя. Например:

$\;{\sqrt[{3}]{2^{3}}}=2$$\;{\sqrt[ {3}]{2^{3}}}=2$

$\;{\sqrt[{4}]{3^{4}}}=3$$\;{\sqrt[ {4}]{3^{4}}}=3$

Освен тази има и още една зависимост (която между другото прави изчисления подобни на горното много по-лесни): Корен квадратен или корен втори от дадено число може да се представи като степенуване със степен дроб, чийто числител е 1, а 2

$\;{\sqrt {2}}=2^{\frac {1}{2}}$$\;{\sqrt 2}=2^{{{\frac {1}{2}}}}$

или

$\;{\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}=2$$\;{\sqrt 4}=4^{{{\frac {1}{2}}}}=2$

Съответно корен 3 и 4 и т.н. стават:

$\;{\sqrt[{3}]{8}}=8^{\frac {1}{3}}=2$$\;{\sqrt[ {3}]8}=8^{{{\frac {1}{3}}}}=2$

$\;{\sqrt[{4}]{8}}1=81^{\frac {1}{4}}=3$$\;{\sqrt[ {4}]8}1=81^{{{\frac {1}{4}}}}=3$

Така горните примери можем да ги запишем по следния начин:

$\;{\sqrt[{3}]{2^{3}}}={(2^{3})}^{\frac {1}{3}}={(2^{\frac {3}{1}})^{\frac {1}{3}}}=2^{{\frac {3}{1}}\times {\frac {1}{3}}}=2^{1}=2$$\;{\sqrt[ {3}]{2^{3}}}={(2^{3})}^{{{\frac {1}{3}}}}={(2^{{{\frac {3}{1}}}})^{{\frac {1}{3}}}}=2^{{{\frac {3}{1}}\times {\frac {1}{3}}}}=2^{1}=2$

$\;{\sqrt[{4}]{(3)^{4}}}=(3^{4})^{\frac {1}{4}}=(3^{\frac {4}{1}})^{\frac {1}{4}}=3^{{\frac {4}{1}}\times {\frac {1}{4}}}=3^{1}=3$$\;{\sqrt[ {4}]{(3)^{4}}}=(3^{4})^{{{\frac {1}{4}}}}=(3^{{{\frac {4}{1}}}})^{{{\frac {1}{4}}}}=3^{{{\frac {4}{1}}\times {\frac {1}{4}}}}=3^{1}=3$

Ако се използва калкулатор дробния степенен показател трябва да се сложи в скоби — напр. $\;15^{\frac {4}{5}}$$\;15^{{{\frac {4}{5}}}}$ трябва да стана $\;15^{(4/5)}$$\;15^{{(4/5)}}$ защото иначе калкулатора ще приеме че е въведено $\;(15^{4})\div 5$$\;(15^{4})\div 5$

Дробните степени позволяват по-голяма гъвкавост (което може да се види при много изчисления) и е по-лесно да се запише отколкото еквивалентния формат, като позволява изчисления, които иначе са невъзможни. Например:

$\;({\sqrt[{10}]{2}}5)^{5}=(25^{\frac {1}{10}})^{5}=25^{{\frac {1}{10}}\times {\frac {5}{1}}}=25^{\frac {1}{2}}={\sqrt {2}}5=5$$\;({\sqrt[ {10}]2}5)^{5}=(25^{{{\frac {1}{10}}}})^{5}=25^{{{\frac {1}{10}}\times {\frac {5}{1}}}}=25^{{{\frac {1}{2}}}}={\sqrt 2}5=5$

Когато видите дробно число като степенен показател, помнете че винаги горното (числителя) е степенния показател, а долното (знаменателя) е корена. Например:

$\;7^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{7}}^{2}=({\sqrt[{3}]{7}})^{2}$$\;7^{{{\frac {2}{3}}}}={\sqrt[ {3}]7}^{2}=({\sqrt[ {3}]7})^{2}$

Някои степени под формата на десетична дроб, могат да се пренапишат така, че да станат обикновена дроб:

$\;3^{5.5}=3^{\frac {11}{2}}$$\;3^{{5.5}}=3^{{{\frac {11}{2}}}}$

Като цяло, обаче, при десетичната степенна дроб (нещо различно от обикновена дроб или цяло число), трябва да го оставим така както е, или ако е необходимо да го изчислим с калкулатор. Например, $\;3^{pi}$$\;3^{{pi}}$, където pi е приблизително равно на 3.14159, не можe да бъде опростено.

Външни препратки

• Оригиналната статия Exponents: Basic Rules е на The Purplemath