Теорема и вектор на Пойнтинг

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Теорема на Пойнтинг или уравнение на Пойнтинг представлява енергийното уравнение на Електродинамиката. Уравнението има следната обща диференциална форма:

\mbox{div}\, \vec{S}=-\frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{1}{2}(\vec{E}\cdot\vec{D}-\vec{B}\cdot\vec{H})\right]-\vec{E}(t,\vec{r})\cdot\vec{j}(t,\vec{r}),

където \vec{S}=\vec{E}\times \vec{H} се нарича вектор на Пойнтинг. \vec{E} и \vec{H} са съответно интензитетите на електрическото и магнитното полета, \vec{j} е токовата плътност.

През 1884 година Джон Хенри Пойнтинг (1852-1914) публикува теоремата в статия: За пренасянето на енергия в електромагнитното поле в издание на кралското научно общество в Лондон [1]. Пойнтинг също предприема обширни експерименти за определяне на гравитационната константа.

Векторът на Пойнтинг има размерност на плътност на потока на енергията за единица време (с размерност [W/m^2]) и има посока съвпадаща с посоката на разпространение на енергията на полето. Първият израз от дясната страна на уравнението показва степента на намаляване във времето на потенциалната или запасената енергия в разглежданата система. Изразът има две компоненти: едната е степента на промяна във времето на енергията на електрическото поле, а другата степента на промяна на запасената енергията на магнитното поле. Вторият израз в дясната част на уравнението съответства на източници на енергия които могат да съществуват в разглеждания обем (токова плътност породена от батерия или генератор в обема) или токова плътност предизвикана от външни източници (индукционни токове). Трябва да се обърне внимание, че изразът \vec{E}(t,\vec{r})\cdot\vec{j}(t,\vec{r}) е положителен, когато съответства на източник в обема и отрицателен при при енергия доставена от външен източник. В интегрална форма уравнението на Пойнтинг се записва като:

\oint_{(s)}\vec{S}\vec{ds}=-\frac{\partial}{\partial t}\int_{(V)}\left[\frac{\epsilon E^2}{2}+\frac{\mu H^2}{2}\right]dv-\int_{(V)}\vec{E}\cdot\vec{j}dv,

Уравнението се получава използвайки изразите \vec{D}=\epsilon \vec{E} (\vec{D} е векторът на електрическата индукция или плътността на електрическия поток) и \vec{B}=\mu \vec{H} (\vec{B} е векторът на магнитната индукция или плътността на магнитния поток), \epsilon е диелектричната проницаемост и \mu е магнитната проницаемост на средата. В този си вид уравнението изразява баланс на мощности измервани във [VA] (за реактивната) и [W] (за активната мощност).


Векторът на Пойнтинг при електростатично поле е равен на нула. При такова поле няма електромагнитно излъчване.

Източници[редактиране | edit source]

  • Сава П. Папазов, Самуил Л. Фархи. Теоретична електротехника, част 3. Държавно издателство Техника, 1988.
  • Nathan Ida. Engineering Electromagnetics. Springer, 2004.
  • S. Brandt, H.D. Dahmen. Elektrodynamik. Springer, 2005.