Тригонометричен полином

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Тригонометричен полином е израз от вида

Числата се наричат коефициенти на полинома , а най-голямото n, такова че се нарича степен на полинома. Индексът n е целочислен, за да може функцията да бъде интегруема в интервала . Тогава изразът дефинира функция, която е абсолютно интегруема и принадлежи на .

Друг начин за записване на полинома е като преобразуваме сбора по формулата на Ойлер:

Ако е известна функцията , коефициентите на полинома могат да се пресметнат по формулата

,

понеже интегралът е ненулев само ако .

Тригонометричните полиноми са частен случай на редове на Фурие.

Тригонометричен полином от степен n може да има най-много n корена в интервала .

Теорема на Вайерщрас за тригонометричните полиноми[редактиране | редактиране на кода]

Частен случай на теоремата на Вайерщрас е твърдението, че тригонометричните полиноми са навсякъде гъсти в пространството на непрекъснатите функции с норма .

Конволюция[редактиране | редактиране на кода]

Конволюцията на тригонометричен полином с функция се използва често в хармоничния анализ. Тя се изразява с формулата:

Приложения[редактиране | редактиране на кода]

Ядрата на Дирихле, Поасон, Фейер, Вале-Пусен и други редици от тригонометрични полиноми се използват за да се апроксимира реда на Фурие на f с определена точност.