Матрица (математика)

Вижте пояснителната страница за други значения на матрица.

---

Означение на елементите в матрица m × n

Матриците са основен елемент от линейната алгебра. В математиката, матрица представлява правоъгълна таблица от величини, най-често числа (числова матрица), наричани елементи на матрицата. Елементи на матрица могат да са числа, вектори, функции или други математически обекти. Те могат да бъдат от произволно поле (например $\mathbb {R} ^{n}$ или $\mathbb {C} ^{2}$) или пръстен. Матриците и матричната алгебра са основни в линейната алгебра. Те се използват за решаване на линейни системи, линейни преобразувания и собствени стойности. Матрица от тип m × n над поле F се нарича матрица, елементите на която са от полето F и има m реда и n стълба:

$$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}$$

Множеството от матриците над поле F от тип m × n им може да се запише като F_mxn.

Пример за матрица 4 × 3 над полето на реалните числа: $${\begin{bmatrix}0&-2&7\\15&1&-0,14\\3&5&6\\\pi &-7&0\end{bmatrix}}$$

Математическа нотация

Обикновено матриците се отбелязват с главни латински букви – например A, а елементите на матрицата се записват със съответната малка или главна буква – a_ik или A_ik, като първият индекс показва номера на реда, а вторият – номера на стълба, на който се намира елементът в матрицата. Освен скоби от вида [ ], е възможно изписване с ( ) и $\parallel \ \ \parallel$

Елементи на матриците

В една квадратна матрица от ред n, елементите с равни индекси (a_ii, i=1.. n) образуват главния ѝ диагонал:

$$a_{ii},i=1..n$$

Елементите, сборът от индексите на които е равен на n+1 (a_ij, i=1.. n, j=n..1), образуват страничния диагонал:

$$a_{1n},a_{2n-1},..,a_{n1}$$

Видове матрици

Най-често се използват матрици с елементи от полето $\mathbb {R}$ и $\mathbb {C}$. В първия случай матрицата се нарича реална, а във втория – комплексна.

• нулева матрица (0) – матрица, при която всички елементи са нули:

$${\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$$

• квадратна матрица – матрица с равен брой на редове и колони:

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$$

• правоъгълна матрица – матрица с различен брой редове и колони:

$${\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}$$

• триъгълна матрица – квадратна матрица, при която елементите под или над главния диагонал са нули, съответно горна или долна триъгълна матрица:

$${\begin{bmatrix}2&0&7\\0&1&-3\\0&0&5,3\end{bmatrix}}$$

• диагонална матрица – квадратна матрица, чиито елементи, неучастващи в главния диагонал, са нули:

$${\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&5\end{bmatrix}},\ i\neq j\Rightarrow a_{ij}=0$$

• скаларна матрица – диагонална матрица, елементите от главния диагонал на която са равни:

$${\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}$$

• единична матрица (E) – скаларна матрица с елементи от главния диагонал равни на единица:

$${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$$

• еднакви матрици – когато $a_{ik}=b_{ik}$, тоест съответните им елементи са равни.
• симетрична матрица – квадратна матрица $A(a_{ij})$, за която е изпълнено $a_{ij}=a_{ji},\forall i,j$:

$${\begin{bmatrix}1&6&7\\6&2&8\\7&8&3\end{bmatrix}}$$

• антисиметрична матрица – квадратна матрица $A(a_{ij})$, за която е изпълнено $a_{ij}=-a_{ji},\forall i,j$:

$${\begin{bmatrix}0&5&1\\-5&0&7\\-1&-7&0\end{bmatrix}}$$

Елементарни преобразувания с матрици

• смяна на местата на два реда:

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}c&d\\a&b\\e&f\end{bmatrix}}$$

• прибявяне на един ред на матрица към друг:

$${\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}a+d&b+e&c+f\\d&e&f\end{bmatrix}}$$

• умножаване на ред на матрицата с число различно от 0:

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}a&b\\\lambda c&\lambda d\\e&f\end{bmatrix}},\lambda \neq 0$$

Основни операции с матрици

Транспониране

Транспонирането е унарна операция. Транспонирата матрица се бележи с A^T и се получава, като в матрицата A редовете се запишат като стълбовете, т.е. а^T_ij = а_ji. Пример:

$$A_{m\times n}={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\10&11&12\end{bmatrix}},\quad A_{n\times m}^{T}={\begin{bmatrix}1&4&7&10\\2&5&8&11\\3&6&9&12\end{bmatrix}}$$

Събиране

Събират се само матрици от един и същи ред. Елементите на новополучената матрица (сбора), са равни на сбора на съответните елементи от събираните матрици:

$${\begin{bmatrix}1&2,7&0\\3&1&x\\\pi &2,4&x\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2,5&3,3&0\\2&1&2x\\4&2,4&y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3,5&6&0\\5&2&3x\\4+\pi &4,8&x+y\end{bmatrix}}$$

Свойства:

• комутативност: ${\mathsf {A+B=B+A}}$
• асоциативност: ${\mathsf {A+(B+C)=(A+B)+C}}$
• дистрибутивност: ${\mathsf {(c+d)A=cA+dA}}$, ${\mathsf {c(A+B)=cA+cB}}$
• неутралност на нулевата матрица: ${\mathsf {A+0=0+A=A\forall A}}$
• ${\mathsf {A+C=B+C}}$, където A и B са еднакви матрици
• противоположната матрица на матрицата А означаваме с –А, за която е в сила ${\mathsf {A+(-A)=0}}$
• разликата на матриците А и В е матрицата ${\mathsf {C=A+B}}$, като към А прибавим противоположната матрица на В, тоест ${\mathsf {A-B=A+(-B)}}$:

$${\begin{bmatrix}2&3&1\\1&2&3\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}3&-2&1\\0&5&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1&2\\1&7&5\end{bmatrix}}$$

Умножение на матрица с число (скалар)

Всеки елемент на матрицата се умножава с числото:

$$\lambda A={\begin{bmatrix}\lambda a_{11}&\lambda a_{12}&\cdots &\lambda a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda a_{m1}&\lambda a_{m2}&\cdots &\lambda a_{mn}\end{bmatrix}}$$

Свойства:

• ${\mathsf {1A=A}}$
• ако ${\mathsf {c,d\in \mathbb {R} }}$, то ${\mathsf {c(dA)=(cd)A}}$
• ако А и В са еднакви матрици, то ${\mathsf {{\mathit {k}}A={\mathit {k}}B}}$

Умножение на матрици

Умножението на матриците A и B е дефинирано само когато A е съгласувана с B, т.е., когато броят на стълбовете на A е равен на броя на редовете на B. Произведението C_{m x p} на A_{m x n} и B_{n x p} се дефинира с равенството:

$$c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{in}b_{nj}$$.

Тоест всеки ред на матрицата A се умножава последователно с всеки от стълбовете на B, като всяко от тези произведения дава един елемент от реда на матрицата C с номер, съвпадащ с този на A. Първият ред на A, умножен с всички стълбове на B, дава всички елементи от първия ред на C и т.н. Пример:

$${\begin{bmatrix}1&3\\0&-2\\4&1\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}7&9\\5&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1*7+3*5&1*9+3*2\\0*7+(-2)*5&0*9+(-2)*2\\4*7+1*5&4*9+1*2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}22&15\\-10&-4\\33&38\end{bmatrix}}$$

Свойства:

• две квадратни матрици могат да бъдат умножени само ако са от един и същи ред
• комуникативност – не е в сила за произволни матрици
• асоциативност: ${\mathsf {A(BC)=(AB)C}}$
• дистрибутивност: ${\mathsf {A(B+C)=AC+BC}}$

Ранг

При дадена произволна матрица ${\mathsf {A}}$ с размерност $m\times n$ можем да разгледаме нейните редове като n-мерни вектори:

$a_{1}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\end{bmatrix}}$

$a_{2}={\begin{bmatrix}a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\end{bmatrix}}$

$\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$

$a_{m}={\begin{bmatrix}a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}$,

а колоните ѝ – като m-мерни вектори:

$a^{1}={\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}$, $a^{2}={\begin{bmatrix}a_{21}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{bmatrix}}$ $\cdots$ $a^{n}={\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}$.

Размерността $r_{x}$ на подпространоството (в повечето случаи подпоространство на $\mathbb {R} ^{n}$ или $\mathbb {C} ^{n}$) ${\mathit {V}}_{x}$ се нарича хоризонтален, или ред-ранг на матрицата $|A|_{mn}$, а размерността $r_{b}$ на подпространостното ${\mathit {V}}_{b}$ – вертикален, или стълб-ранг на матрицата.

Детерминанта

Детерминантата е свойство на всяка квадратна матрица, при което тя може да се съпостави на едно число |A|:

${\mathsf {|A|}}=\Delta _{0}=\textstyle \sum (-1)^{\mathit {I}}a_{1}k_{1}.a_{2}k_{2}\dots a_{n}k_{n}\displaystyle$,

където сумата е по всички пермутации (k₁k₂ … k_n) на числата 1,2,…,n и I е броят на инверсиите в съответната пермутация. Инверсия в пермутация – $k_{i}>k_{j}$, при $i<j$.

В сила е нотацията ${\mathsf {|A|}}=det[A]=\Delta _{0}$.

Ако детерминантата на матрицата е различна от 0 (редовете ѝ са линейно независими), матрицата е линейно преобразувание. Нейно харктеристично уравнение е ${\mathsf {A^{2}}}:={\mathsf {AA}}$

Пресмятане на детерминанта

За детерминанта от първи ред: $$\det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a$$

За детерминанта от втори ред: $$\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc$$

За детерминанта от трети ред: $$\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg$$

В останалите случаи, най-често свеждаме матрицата до горно или долно триъгълна чрез елементарни преобразувания (умножение на ред или стълб с дадено число и прибавяне на реда към друг ред (или прибавяне на стълб към друг стълб)).

$$\det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\cdots &\cdots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}=a_{11}a_{22}...a_{nn}.$$

Детерминанта от n-ти ред се пресмята чрез развитие по ред или по стълб – една матрица от n-ти ред се получават n детерминати от (n-1)-ви ред.

Външни препратки

• В Общомедия има медийни файлове относно Матрица (математика)
• ((en)) Статия „Матрица“ в Wolfram MathWorld