Тригонометричен полином
За информацията в тази статия или раздел не са посочени източници. Въпросната информация може да е непълна, неточна или изцяло невярна. Имайте предвид, че това може да стане причина за изтриването на цялата статия или раздел. |
Тригонометричен полином е израз от вида
Числата се наричат коефициенти на полинома , а най-голямото n, такова че се нарича степен на полинома. Индексът n е целочислен, за да може функцията да бъде интегруема в интервала . Тогава изразът дефинира функция, която е абсолютно интегруема и принадлежи на .
Друг начин за записване на полинома е като преобразуваме сбора по формулата на Ойлер:
Ако е известна функцията , коефициентите на полинома могат да се пресметнат по формулата
- ,
понеже интегралът е ненулев само ако .
Тригонометричните полиноми са частен случай на редове на Фурие.
Тригонометричен полином от степен n може да има най-много n корена в интервала .
Теорема на Вайерщрас за тригонометричните полиноми
[редактиране | редактиране на кода]Частен случай на теоремата на Вайерщрас е твърдението, че тригонометричните полиноми са навсякъде гъсти в пространството на непрекъснатите функции с норма .
Конволюция
[редактиране | редактиране на кода]Конволюцията на тригонометричен полином с функция се използва често в хармоничния анализ. Тя се изразява с формулата:
Приложения
[редактиране | редактиране на кода]Ядрата на Дирихле, Поасон, Фейер, Вале-Пусен и други редици от тригонометрични полиноми се използват за да се апроксимира реда на Фурие на f с определена точност.