Множество на Манделброт

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето
Множеството на Манделброт (в черно).
Увеличение върху множеството на Манделброт.

Множеството на Манделброт е множество от комплексни числа , за което функцията не е разходяща при итерация с , тоест за която редицата , остава ограничена по абсолютна стойност. Кръстена е в чест на математика Беноа Манделброт.[1] Множеството има връзка с множеството на Жулиа, тъй като и двете множества образуват сложни фрактални фигури.

Изображения на множеството на Манделброт могат да се създадат чрез тестване на комплексни числа дали редицата за всяка точка е разходяща до безкрайност. Нанасянето на реалната и имагинерната част на като координати върху комплексната равнина позволява да се оцветят пикселите според това колко бързо редицата преминава даден произволно избран праг с определен цвят (обикновено черен) за стойностите на , за които редицата не преминава въпросния праг след предварително зададен брой итерации. Оцветяването на останалите точки, непринадлежащи на множеството, се определя от степента, с която получената от тях редица достига определена граница, отвъд която няма елементи на множеството. Ако се поддържа константа, а първоначалната стойност на () стане променлива, се получава съответното множество на Жулиа за всяка точка на функцията.

Изображенията на множеството на Манделброт показват подробна и безкрайно сложна граница, която разкрива прогресивно по-фини рекурсивни детайли при увеличаване. Стилът на повтарящите се детайли зависи от областта на множеството, която се изследва. Границата на множеството, също така, включва по-малки варианти на главната форма, така че фракталното свойство на самоподобието важи за цялото множество, а не само за частите му.

Точната площ на множеството на Манделброт не е известна. Към 2012 г. тя е изчислена на приблизително 1,506 591 884 9 ± 2,8×10−9. Точната координата на центъра на масите също не е известна и е оценена на −0,286 768 420 48 ± 3,35×10−9.[2] Увеличените изображения на множеството показват, че той има безкрайна дълбочина.[3]

Множеството на Манделброт е популярно и извън областта на математиката, както поради естетическата си привлекателност, така и като пример за сложна структура, появяваща се от прилагането на прости правила.

История[редактиране | редактиране на кода]

Множеството на Манделброт произлиза от комплексната динамика – област, за пръв път изследвана от френските математици Пиер Фату и Гастон Жулиа в началото на 20 век. Този фрактал за пръв път е определен и нарисуван през 1978 г. от Робътр Брукс и Питър Мателски като част от проучване върху Клайновите групи.[4] На 1 март 1980 г. в изследователски център на IBM Беноа Манделброт за пръв път визуализира множеството.[5] По това време Манделброт изучава параметричното пространство на квадратните полиноми.[6] В действителност, математическото изследване на множеството започва с работата на математиците Адриен Дуади и Джон Хъбард,[1] които установяват много от фундаменталните му свойства и го кръщават в чест на Манделброт като признание за влиятелната му работа в областта на фракталната геометрия.

Математиците Хайнц-Ото Пайтген и Петер Рихтер популяризират множеството с фотографии, книги[7] и международна изложба към германския Гьоте-институт.[8][9]

Главната статия на списанието Scientific American от август 1985 г. въвежда широката публика в алгоритъма за изчисляване на множеството на Манделбор. Корицата на броя включва изображение на -0.909 + -0.275 и е създадена от Пайтген и колектив.[10][11] Към средата на 1980-те години множеството става известно като компютърно графично демо, когато персоналните компютри стават достатъчно мощни, за да начертаят графиката и да изобразят множеството във висока резолюция.[12]

Формално определение[редактиране | редактиране на кода]

Множеството на Манделброт е множеството от стойности на c в комплексната равнина, за които итеративното прилагане на полином над начална стойност 0 води до ограничена редица:[13][3]

Следователно, дадено комплексно число c е елемент на множеството на Манделброт, когато започвайки с z0 = 0 и прилагайки повтаряща се итерация, абсолютната стойност на zn остава ограничена за всички n>0.

Така например, за c=1, редицата е 0, 1, 2, 5, 26, ..., което в крайна сметка води до безкрайност, така че 1 не е елемент на множеството на Манделброт. От друга страна, за c=−1, редицата е 0, −1, 0, −1, 0, ... – очевидно ограничена, така че −1 принадлежи към множеството на Манделброт.

Множеството на Манделброт е компактно множество, тъй като е затворено и ограничено в окръжност с радиус 2 около началото на координатната система. По-конкретно, точка принадлежи към множеството на Манделброт тогава и само тогава, когато

за всички

С други думи, ако абсолютната стойност на превиши 2, редицата винаги ще е разходяща към безкрайност.

Галерия[редактиране | редактиране на кода]

Следващите примери на увеличение върху дадена стойност на c създават впечатление за безкрайното богатство на различни геометрични структури и обясняват някои от техните типични правила. Увеличението на последното изображение спрямо първото е около 1010 към 1. Съпоставено спрямо обикновен компютърен монитор, това представлява отрязък от множество на Манделброт с диаметър от 4 милиона километра.

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. а б Adrien Douady and John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
  2. Pixel Counting
  3. а б Павел Бойчев. Наука и изкуство: История на взаимно вдъхновение. // БАН, април 2010.
  4. Robert Brooks and Peter Matelski, The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C), in Irwin Kra. Riemann Surfaces and Related Topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference. Princeton University Press, 1 May 1981. ISBN 0-691-08267-7.
  5. R.P. Taylor & J.C. Sprott. Biophilic Fractals and the Visual Journey of Organic Screen-savers. // Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences, Vol. 12, No. 1. Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences, 2008. Посетен на 1 януари 2009.
  6. Benoit Mandelbrot, Fractal aspects of the iteration of for complex , Annals of the New York Academy of Sciences 357, 249/259
  7. Peitgen, Heinz-Otto. The Beauty of Fractals. Heidelberg, Springer-Verlag, 1986. ISBN 0-387-15851-0.
  8. Frontiers of Chaos, Exhibition of the Goethe-Institut by H.O. Peitgen, P. Richter, H. Jürgens, M. Prüfer, D.Saupe. since 1985 shown in over 40 countries.
  9. Gleick, James. Chaos: Making a New Science. London, Cardinal, 1987. с. 229.
  10. Dewdney, A. K.. Computer Recreations, August 1985; A computer microscope zooms in for a look at the most complex object in mathematics. // Scientific American, 1985.
  11. John Briggs. Fractals: The Patterns of Chaos. 1992. с. 80.
  12. Pountain, Dick. Turbocharging Mandelbrot. // Byte. септември 1986.
  13. Mandelbrot Set Explorer: Mathematical Glossary. // Посетен на 7 октомври 2007.