Множество на Манделброт

Множеството на Манделброт (в черно).

Увеличение върху множеството на Манделброт.

Множеството на Манделброт е множество от комплексни числа $c$, за което функцията $f_{c}(z)=z^{2}+c$ не е разходяща при итерация с $z=0$, тоест за която редицата $f_{c}(0)$, $f_{c}(f_{c}(0))$ остава ограничена по абсолютна стойност. Кръстена е в чест на математика Беноа Манделброт. Множеството има връзка с множеството на Жулиа, тъй като и двете множества образуват сложни фрактални фигури.

Изображения на множеството на Манделброт могат да се създадат чрез тестване на комплексни числа дали редицата $f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),\dotsc$ за всяка точка $c$ е разходяща до безкрайност. Нанасянето на реалната и имагинерната част на $c$ като координати върху комплексната равнина позволява да се оцветят пикселите според това колко бързо редицата $|f_{c}(0)|,|f_{c}(f_{c}(0))|,\dotsc$ преминава даден произволно избран праг с определен цвят (обикновено черен) за стойностите на $c$, за които редицата не преминава въпросния праг след предварително зададен брой итерации. Оцветяването на останалите точки, непринадлежащи на множеството, се определя от степента, с която получената от тях редица достига определена граница, отвъд която няма елементи на множеството. Ако $c$ се поддържа константа, а първоначалната стойност на $z$ ($z_{0}$) стане променлива, се получава съответното множество на Жулиа за всяка точка $c$ на функцията.

Изображенията на множеството на Манделброт показват подробна и безкрайно сложна граница, която разкрива прогресивно по-фини рекурсивни детайли при увеличаване. Стилът на повтарящите се детайли зависи от областта на множеството, която се изследва. Границата на множеството, също така, включва по-малки варианти на главната форма, така че фракталното свойство на самоподобието важи за цялото множество, а не само за частите му.

Точната площ на множеството на Манделброт не е известна. Към 2012 г. тя е изчислена на приблизително 1,506 591 884 9 ± 2,8×10⁻⁹. Точната координата на центъра на масите също не е известна и е оценена на −0,286 768 420 48 ± 3,35×10⁻⁹. Увеличените изображения на множеството показват, че той има безкрайна дълбочина.

Множеството на Манделброт е популярно и извън областта на математиката, както поради естетическата си привлекателност, така и като пример за сложна структура, появяваща се от прилагането на прости правила.

История

Множеството на Манделброт произлиза от комплексната динамика – област, за пръв път изследвана от френските математици Пиер Фату и Гастон Жулиа в началото на 20 век. Този фрактал за пръв път е определен и нарисуван през 1978 г. от Робътр Брукс и Питър Мателски като част от проучване върху Клайновите групи. На 1 март 1980 г. в изследователски център на IBM Беноа Манделброт за пръв път визуализира множеството. По това време Манделброт изучава параметричното пространство на квадратните полиноми. В действителност, математическото изследване на множеството започва с работата на математиците Адриен Дуади и Джон Хъбард, които установяват много от фундаменталните му свойства и го кръщават в чест на Манделброт като признание за влиятелната му работа в областта на фракталната геометрия.

Математиците Хайнц-Ото Пайтген и Петер Рихтер популяризират множеството с фотографии, книги и международна изложба към германския Гьоте-институт.

Главната статия на списанието Scientific American от август 1985 г. въвежда широката публика в алгоритъма за изчисляване на множеството на Манделброт. Корицата на броя включва изображение на -0.909 + -0.275 и е създадена от Пайтген и колектив. Към средата на 1980-те години множеството става известно като компютърно графично демо, когато персоналните компютри стават достатъчно мощни, за да начертаят графиката и да изобразят множеството във висока резолюция.

Формално определение

Множеството на Манделброт е множеството от стойности на c в комплексната равнина, за които итеративното прилагане на полином над начална стойност 0 води до ограничена редица:

$z_{n+1}=z_{n}^{2}+c$

Следователно, дадено комплексно число c е елемент на множеството на Манделброт, когато започвайки с z₀ = 0 и прилагайки повтаряща се итерация, абсолютната стойност на z_n остава ограничена за всички n>0.

Така например, за c=1, редицата е 0, 1, 2, 5, 26, ..., което в крайна сметка води до безкрайност, така че 1 не е елемент на множеството на Манделброт. От друга страна, за c=−1, редицата е 0, −1, 0, −1, 0, ... – очевидно ограничена, така че −1 принадлежи към множеството на Манделброт.

Множеството на Манделброт е компактно множество, тъй като е затворено и ограничено в окръжност с радиус 2 около началото на координатната система. По-конкретно, точка $c$ принадлежи към множеството на Манделброт тогава и само тогава, когато

$|P_{c}^{n}(0)|\leq 2$ за всички $n\geq 0.$

С други думи, ако абсолютната стойност на $P_{c}^{n}(0)$ превиши 2, редицата винаги ще е разходяща към безкрайност.

Галерия

Следващите примери на увеличение върху дадена стойност на c създават впечатление за безкрайното богатство на различни геометрични структури и обясняват някои от техните типични правила. Увеличението на последното изображение спрямо първото е около 10¹⁰ към 1. Съпоставено спрямо обикновен компютърен монитор, това представлява отрязък от множество на Манделброт с диаметър от 4 милиона километра.

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
•