Самоподобие

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето
Кривата на Кох има безкрайно повтарящо се самоподобие при увеличение.
Самоподобие при зелевия вид броколи Романеско Brassica oleracea.

В математиката, самоподобният обект точно или приблизително прилича на част от самия него (тоест целостта има същата форма като една или повече от частите ѝ). Много тела в реалния свят (например бреговите линии) са статистически самоподобни – части от тях проявяват едни и същи статистически свойства в различни мащаби.[1] Самоподобието е типично свойство на фракталите. Мащабностната инвариантност е точна форма на самоподобието, при която всякакво увеличение показват по-малка част от обекта, която е подобна на целия обект. Например, страната на кривата на Кох е едновременно симетрична и мащабно инвариантна. тя може да се увеличи трикратно и няма да промени формата си. Нетривиалното подобие, което се наблюдава у фракталите, се отличава с фината си структура или детайлност в произволно малки мащаби. Като контрапример, докато всяка част от една права линия може да прилича на цялата, допълнителни детайли не могат да се открият.

Явление, развиващо се с времето, може да проявява самоподобие, ако числената стойност на определена наблюдаема величина , измервана на определени времена, е различна, но съответстващата безмерна величина за дадена стойност на остава инвариантна. Това се случва, когато величината проявява динамично мащабиране. Идеята е просто разширение на идеята за подобие между два триъгълника[2][3][4] – те са подобни, когато числената стойност на страните им са различни, но съответните безмерни величини (техните ъгли) съвпадат.

Ако части от фигурата представляват малки реплики на цялата фигура, тогава фигурата е самоподобна. ... Фигурата е строго самоподобна, ако може да се разложи на части, които са точни реплики на цялата фигура, като това важи за всяка произволна част от фигурата.[5]

Самоподобието има голямо значение при проектирането на компютърни мрежи, тъй като обичайният мрежов трафик има самоподобни свойства. В телеграфното инженерство, трафикът на данните е статистически самоподобен.[6] Това означава, че моделите, използващи само на разпределение на Поасон, са неточни, а мрежите, които са проектирани без да се вземе предвид самоподобието им, имат голяма вероятност да работят по непредвидени начини. По сходен начин, движенията на фондовия пазар също проявяват самоподобие.[7] Самоподобие се среща и в природата, например при някои растения (Brassica oleracea).

Определение[редактиране | редактиране на кода]

Компактно топологично пространство X е самоподобно, ако съществува такова крайно множество S, което индексира набор от несюрективни хомеоморфизми , за които

Ако , тогава X е самоподобно, ако е единственото непразно подмножество на Y, така че горното уравнение да важи за . Тогава

е самоподобна структура. Хомеоморфизмите подлежат на итерация, което води до система на итерирана функция. Функционалният състав създава алгебричната структура на моноид. Когато множеството S има само два елемента, тогава става въпрос за двоичен моноид. Той може да се визуализира като безкрайно двоично дърво. С други думи, ако множеството S има p елемента, тогава моноидът може да се представи като p-адично дърво.

Автоморфизммите на двойния моноид е модуларната група. Те могат да се изобразят като хиперболични ротации на двоичното дърво.

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. Mandelbrot, Benoit B.. How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension. // Science 156. 5 май 1967. DOI:10.1126/science.156.3775.636. с. 636 – 638. PDF
  2. Hassan M. K., Hassan M. Z., Pavel N. I.. Dynamic scaling, data-collapseand Self-similarity in Barabasi-Albert networks. // J. Phys. A: Math. Theor. 44 (17). 2011. DOI:10.1088/1751-8113/44/17/175101. с. 175101.
  3. Hassan M. K., Hassan M. Z.. Emergence of fractal behavior in condensation-driven aggregation. // Phys. Rev. E 79 (2). 2009. DOI:10.1103/physreve.79.021406. с. 021406.
  4. Dayeen F. R., Hassan M. K.. Multi-multifractality, dynamic scaling and neighbourhood statistics in weighted planar stochastic lattice. // Chaos, Solitons & Fractals 91. 2016. DOI:10.1016/j.chaos.2016.06.006. с. 228.
  5. Peitgen, Heinz-Otto; Jürgens, Hartmut; Saupe, Dietmar; Maletsky, Evan; Perciante, Terry; and Yunker, Lee (1991). Fractals for the Classroom: Strategic Activities Volume One, p.21. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97346-X.
  6. Leland, W.E. и др. On the self-similar nature of Ethernet traffic (extended version). // IEEE/ACM Transactions on Networking 2 (1). January 1995. DOI:10.1109/90.282603. с. 1 – 15.
  7. Benoit Mandelbrot. How Fractals Can Explain What's Wrong with Wall Street. // Scientific American. февруари 1999.