P-адично число

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето
3-адични цели числа и връзката им със съответните дуални групи на Понтрягин

Теорията на P-адичните числа е разработена от немският математик Курт Хензел през 1897 г. (p-adischen Zahlen). Неговият ученик – руския математик Александър М. Островски доказва теорема (наречена по-късно на негово име), че множеството на рационалните числа може да се допълни до непрекъснато множество само по два начина – или като се използват ирационални числа, или P-адични числа.

Най-просто казано P-адично число се нарича рационално число, записано с основа просто число, т.е. като редица от остатъци по модул p, където p e просто число.

За основа може да се вземе кое да е просто число (освен 1) (както можем да запишем едно и също цяло число в осмична, 10на, 16на система съответно с основа 8,10,16, така можем да запишем едно реално число в P-адична система с основа 2,3,5 7 и т.н.).

Формалната дефиниция на понятието от теория на числата е:
P-адично число[1] дефинира за фиксирано p което е просто число разширение на множеството на рационалните числа. Това расширение е попълване на полето на рационалните числа на база на P-адичната норма, определена на база делимостта на целите числа на p.

Цяло P-адично число за дадено Просто число p се нарича безкрайният ред по модул , където:

За разлика от реалните числа, множеството на P-адичните не е подредено, а геометрията на тяхна основа е не-Архимедова.

Тези числа се оказват извънредно полезни при решаването на някои сложни математически задачи, примерно в теория на числата при оценка решимостта на алгебричните уравнения.

По-късно P-адичните числа намират приложение и в квантовата физика, а разработените на тяхна база ултраметрични пространства на Марк Краснер и аделната формула на Фройнд-Витен – в квантовата механика.

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. Чете се: пе-адично; съответно: две-адично, три-адично и т.н.
  • Kurt Hensel, „Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen„, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Band 6, 1899, 6 (3): 83 – 88.
  • Владимиров B.C., Волович И.В. „Суперанализ, 1. Дифференциальное исчисление „. ТМФ. 1984. Т. 59, № 1. С. 3 – 27; —, —. „Суперанализ, 2. Интегральное исчисление„. ТМФ. 1984. Т. 60, № 2, С. 169 – 198; —, —. „p-Адическая квантовая механика„. Доклады Акад. Наук СССР: Физика. 1988. Т. 302, № 2. С. 320 – 322; engl. version: Vladimirov V.S., Volovich I.V. „P-adic quantum mechanics„. Commun. Math. Phys. 1989. T. 123, C. 659 – 676; В. С. Владимиров, И.В. Волович, Е. И. Зеленов, „p-Адический анализ и математическая физика„, Наука, М., 1994; engl. version: V.S. Vladimirov, I.V. Volovich, Ye.I. Zelenov, „p-Adic Analysis and Mathematical Physics„, World Scientific, Singapore, 1993
  • Khrennikov A. Yu. „p-adic valued distributions and their applications to the mathematical physics„. Dordreht: Kluwer Acad. Publ., 1994.
  • Volovich IV, „p-adic string„. Class. Quant. Grav. 1987. V. 4. P. 83 – 87.
  • С. В. Козырев, „Методы и приложения ультраметрического и p-адического анализа: от теории всплесков до биофизики“, Совр. пробл. матем., Вып. 12, МИАН, М., 2008
  • P. G. O. Freund, E. Witten, „Adelic string amplitudes“, Phys.Lett. B, 199 (1987), 191 – 194

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]