Обратима матрица

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Дадена квадратна матрица се нарича обратима или още неособена, ако съществува квадратна матрица от същия ред, такава че , където е единичната матрица. Матрицата се нарича обратна на .

Ефикасен метод за намиране на обратната матрица на дадена матрица е метода с адюнгираните количества. По този метод, аналитичната формула за обратната матрица е:

Където , а е детерминантата на матрицата , от която са махнати реда и колоната .

Свойства на неособените матрици[редактиране | редактиране на кода]

Нека A е квадратна матрица с n реда и n колони върху дадено поле (например, полето на реалните числа - ). Следните свойства са еквивалентни:

  • A е неособена (обратима).
  • det A ≠ 0.
  • Единственото решение на уравнението Ax = 0 е x = 0
  • Уравнението Ax = b има единствено решение за дадено b .
  • Колоните на A са линейно независими вектори.
  • Колоните на A са базис на .
  • Линейното зачеванеx Ax е биекция от към .
  • Матрицата, получена с транспониране на A: AT също е неособена
  • Произведението на A с матрицата, получена с транспониране на A (AT × A) също е неособена
  • Нулата не е собствена стойност на A

Обратната на обратима матрица A също е обратима, с

.

Обратната на обратима матрица, умножена по ненулева скаларна величинаk е равна на произведението на обратната матрица с обратната стойност на скалара:

.

За обратима матрица A, транспонираната на обратната е равна на обратната на транспоринарана:

Произведението на две неособени матрици A и B с еднакъв размер е също така обратимо, като обратната на произведението матрица е:

(Важно е да се отбележи, че редът на множителите не е същият). Като следствие от това, множеството от неособени n × n матрици образува група, която се бележи с Gl(n).