Обратима матрица

от Уикипедия, свободната енциклопедия
(пренасочване от Обратна матрица)
Направо към навигацията Направо към търсенето

Дадена квадратна матрица се нарича обратима или още неособена, ако съществува квадратна матрица от същия ред, такава че , където е единичната матрица. Матрицата се нарича обратна на .

Ефикасен метод за намиране на обратната матрица на дадена матрица е метода с адюнгираните количества. По този метод, аналитичната формула за обратната матрица е:

Където , а е детерминантата на матрицата , от която са махнати реда и колоната .

Свойства на неособените матрици[редактиране | редактиране на кода]

Нека A е квадратна матрица с n реда и n колони върху дадено поле (например, полето на реалните числа - ). Следните свойства са еквивалентни:

  • A е неособена (обратима).
  • det A ≠ 0.
  • Единственото решение на уравнението Ax = 0 е x = 0
  • Уравнението Ax = b има единствено решение за дадено b .
  • Колоните на A са линейно независими вектори.
  • Колоните на A са базис на .
  • Линейното зачеванеx Ax е биекция от към .
  • Матрицата, получена с транспониране на A: AT също е неособена
  • Произведението на A с матрицата, получена с транспониране на A (AT × A) също е неособена
  • Нулата не е собствена стойност на A

Обратната на обратима матрица A също е обратима, с

.

Обратната на обратима матрица, умножена по ненулева скаларна величинаk е равна на произведението на обратната матрица с обратната стойност на скалара:

.

За обратима матрица A, транспонираната на обратната е равна на обратната на транспоринарана:

Произведението на две неособени матрици A и B с еднакъв размер е също така обратимо, като обратната на произведението матрица е:

(Важно е да се отбележи, че редът на множителите не е същият). Като следствие от това, множеството от неособени n × n матрици образува група, която се бележи с Gl(n).