Функционал

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В математиката, функционал е изображение от линейно пространство на функции в съответното му поле, обикновено това са комплексните числа. С други думи, това е функция, която съпоставя на аргумент функция комплексно число. За първи път се използва във вариационното смятане, където се търси функцията, която минимизира даден функционал. Приложението му във физиката е да се търси такова състояние на система, което минимизира функционала на енергията.

Особен вид функционали, т.нар. линейни функционали се изучават в теорията на дуалните пространства.

Трансформацията на функции е по-общо понятие, виж оператор.

Примери[редактиране | edit source]

Дуалност[редактиране | edit source]

Да забележим, че изображението

x_0\mapsto f(x_0)

е функция. Тук x_0 е аргумента на функцията. Същевременно изображението на функция в стойността ѝ в дадена точка

f\mapsto f(x_0)

е функционал, тук x_0 е параметър.

Когато f е линейна функция от линейно пространство в съответното поле, горните линейни изображения са дуални едно на друго и във функционалния анализ се наричат линейни функционали.

Интеграл[редактиране | edit source]

Интеграли като например

f\mapsto I[f]=\int_{\Omega} H(f(x),f'(x),\ldots)\;\mu(\mbox{d}x)

оформят особен вид функционали. Те изобразяват функция f в реално число, при условие, че H приема реални стойности. Ето още примери

  • лицето под графиката на положителна фунцкия f
f\mapsto\int_{x_0}^{x_1}f(x)dx
f\mapsto \left(\int|f|^pdx\right)^{1/p}
f\mapsto \int_{x_0}^{x_1}\sqrt{1+|f'(x)|^2}dx

Функционално уравнение[редактиране | edit source]

Традиционно това понятие се употребява за уравнения с функционали: уравнението F = G между два функционала може да се възприеме като 'уравнение' с решения функции. Например всяка адитивна функция f е решение на функционалното уравнение

f(x+y) = f(x) + f(y).

Производни на функционали[редактиране | edit source]

Производна на функционал се използва в механиката и дава сведения за това как функционалът се изменя, когато функцията се изменя по малко. Виж вариационно смятане.

Литература[редактиране | edit source]