Версиера

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Конструкция на версиера (къдрица на Анези)

Версиера в математиката е алгебрична крива от трета степен. Изследвана е от италианската математичка Мария Гаетана Анези, и поради това наречена на нейно име „къдрица на Анези“.

Кривата се строи по следния начин: Фиксирана е окръжност и произволна точка О върху нея, както и нейната диаметрално противоположна М. За произволна друга точка от окръжността А е прекарана секущата права ОА, пресичаща в точка N допирателната, прекарана към окръжността в точка М. Успоредната на ОМ права през N и перпендикулярната на ОМ права през А се пресичат в точка Р. При изменението на точка А, описваната траектория от точка Р представлява версиерата.

Кривата има асимптота в лицето на допирателната към окръжността в точка О.

Уравнения[редактиране | edit source]

Да допуснем, че точка О е началото на координатната система, а М лежи на положителната част от ординатата. Нека радиусът на окръжността е a.

Тогава кривата има уравнение в декартови координати y = \frac{8a^3}{x^2+4a^2}.

Параметрично изразено, ако \theta е ъгълът между OM и OA (мерен по часовниковата стрелка), кривата се определя чрез уравненията

x = 2a \tan \theta,\ y = 2a \cos ^2 \theta.\,

Правата y=0 e aсимптота на къдрицата.

Областта между къдрицата и нейната асимптота има площ 4 пъти площта на фиксираната окръжност, т.е. 4\pi a^2. При ротация на кривата около асимптотата се получава тяло с обем 4\pi^2 a^3 Центърът на тежестта на областта лежи в точката с координати (0,\frac{a}{2}).

Външни препратки[редактиране | edit source]