Модул (теория на пръстените)

В теория на пръстените модул над пръстен $R\,$ или $R\,$-модул представлява удобно обобщение на понятието линейно пространство (от линейната алгебра) и абелова група (от теория на групите). Модулите намират широка употреба в комутативната алгебра, хомологичната алгебра и теория на представянията.

Формални определения

Нека $R\,$ е комутативен пръстен с единица $1_{R}\,$ (елементите на $R\,$ наричаме скалари) и $M\,$ е абелева група с адитивен запис (приемаме действието в групата за събиране '+'). $M\,$ ще наричаме $R\,$-модул, ако на всеки елемент $r \in R$ и на всеки елемент $x \in M$ се съпоставя елемент $ax \in M$ (скаларно умножение), като са налице следните аксиоми $( r, s \in R; x, y \in M)$:

1. $r(x + y) = rx + ry\,$
2. $(r +s)x = rx + sx\,$
3. $(rs)x = r(sx)\,$
4. $1_{R} x = x\,$.

Лесно се забелязва, че разликата с аксиомите за линейно пространство над поле се състои във възможността скаларите да лежат в пръстен, който, в общия случай, не е поле.

Ако $R\,$ не е комутативен, може да се въведат ляв и десен R-модул (съответно ${}_{R}\!M$ и $M_R\,$), където скаларното умножение ще действа от ляво, съответно дясно.

Подмодул на $M\,$ ще наричаме всяка подгрупа $N\,$ на $M\,$, затворена относно скаларното умножение.

Анулатор на $M\,$ ще наричаме множеството $Ann M = \{ r \in R \ | \ rM = 0 \}$.

Примери

• Всяко линейно пространство над поле е модул над това поле.
• Всяка абелева група е $\mathbb{Z}$-модул.
• Всеки идеал и всеки факторпръстен, на даден пръстен $R\,$, е $R\,$-модул.
• Множеството от всички векторни полета върху гладкото многообразие $X\,$ образува модул над $C^{\infty}(X)$ (пръстена на гладките функции действащи от $X\,$ върху $\mathbb{R}$).

Видове модули

• Свободен модул е директна сума $R^n = R \oplus \cdots \oplus R$ на n копия на $R\,$.
• Цикличен модул е модул породен от един елемент.
• Крайнопороден модул е модул, в който всеки елемент може да се представи във вида $x = r_{1}x_{1} + \cdots + r_{n}x_{n}, \ x_1,...,x_n \in M, \ r_1,...,r_n \in R$. Един модул е крайнопороден тогава и само тогава, когато е изоморфен на фактормодул на свободния модул $R^n\,$, $n \in \mathbb{N}$.
• Точен модул е модул, за който $Ann M = (0)\,$.
• Прост модул (или неприводим модул) е ненулев модул, който няма подмодули различни от нулевия и самия себе си.