Вариационно смятане

от Уикипедия, свободната енциклопедия
(пренасочване от Вариационен анализ)
Направо към: навигация, търсене

Вариационно смятане или вариационен анализ е дял от математиката изучаващ функционалите и методите за намиране на техни екстремуми (локални и глобални). Функционал е изображение между множество от функции и множество от числа. Типичен пример за функционал е определения интеграл. Вариационното смятане намира широко приложение – от чисто практични дисциплини, като оптиката – до по нестандартни, като топологията.

Задачи по намиране на екстремали на функции, криви и други, които минимизират даден функционал, възникат в геометрията и механиката. Вариационното смятане е започнато през XVII в. от Ойлер и Лагранж. Исторически първата задача на вариационното смятане е задача за брахистохроната, поставена още от Галилей. През началния период са решени много конкретни задачи. Особено значение при участието на учени като Готфрид Лайбниц и Йохан Бернули има задачата за геодезичните линии и изопериметричната задача. Понятието геодезична линия обобщава понятията права линия и отсечка от евклидовата геометрия, когато тримерното евклидово пространство се заменя с повърхнина или пространство от по-общ вид. По-точно геодезичните линии, които съответстват на понятието права линия и се касае за функция, чиято дефиниционна област не се състои от числа, а е множество от обекти, напр. определен вид криви, функции, някакви състояния на дадена механична система. Вариационното смятане е съществено свързано с класическата механика. Връзката се съдържа в т. нар. вариационни принципи на механиката. Съвременното вариационно смятане има две главни направления: глобално вариационно смятане и теория на оптималното управление. Първото е свързано с топологията. Развива се през XX в. (затворени геодезични линии върху риманово многообразие, неравенства на Морс). Другото направление възниква след Втората световна война и в зародишна форма е подбудено от инженерни проблеми на ракетна техника; сега е в разцвета си. Обобщено е в различни направления, напр. във връзка с диференциалната геометрия върху диференцируеми многообразия и многомерни повърхнини, във връзката със случайните процеси (клон от теорията на вероятностите). Много съвременни математици от 60-те години на 20 в. – американският математик Р. Белман, съветският Л. Понтрягин и други имат принос в тази дисциплина.

Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]

  • Моисеев Н.Н., глав. ред. Прохоров А.М. Вариационное исчисление. // Большая советская энциклопедия. 3 изд. Т. 4 (от 30), Брасос - Веш. Москва, Издателство "Съветска енциклопедия", 1971. с. 303-305. Посетен на 29 March 2017.(на руски)