Диофантово уравнение

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Диофантово се нарича всяко алгебрично уравнение с цели или рационални коефициенти, решенията на което се търсят отново в множествата на целите или на рационалните числа. Специфично за системите от диофантови уравнения е, че броят на неизвестните в тях е по-голям от броя на уравненията в системата, т. е. системата е неопределена и има цял клас решения, чието графично изображение е алгебрична крива, алгебрична повърхнина или обект от по-висок порядък.

Думата "диофантов" произлиза от името на древногръцкия математик Диофант от Александрия, който в основния си труд "Аритметика" разглежда линейни и квадратни уравнения във връзка с резултати, останали от гръцки и вавилонски математици. Диофант е и един от първите математици, които въвеждат математическата символика в алгебрата (въвежда фиксирани означения за неизвестното и първите му степени).

Математическото изследване на диофантови уравнения се нарича диофантов анализ. Доколкото отделни диофантови уравнения винаги са представлявали любопитни задачи с повишена трудност, формулирането на обобщени теоретични подходи към класовете диофантови уравнения е достижение основно на ХХ век.

Два фактора определят вида, сложността и начина на решаване на диофантовите уравнения:

  • броят на неизвестните;
  • най-високата степен на неизвестна величина в уравнението (системата от уравнения).

Примери за диофантови уравнения[редактиране | edit source]

Нека в следващите примери x, y и z считаме за неизвестни, а другите буквени означения играят ролята на параметри.

  • Тъждеството на Безу ax + by = 1 е линейно диофантово уравнение.
  • Уравнението x^n + y^n = z^n.
  • Уравнението на Пел x^2 - ny^2 = 1, където n е цяло число, различно от квадрат.
  • За общите решения на диофантовите уравнения от степен, по-висока от 2, се знае малко, но уравненията на Туе от вида \sum_{i=0}^n{a_i x^i y^{n-i}} = c, където n \geq 3 и c \not= 0 са общо взето решими.

Диофантов анализ[редактиране | edit source]

Основните въпроси, от които диофантовият анализ се интересува при изучаване на конкретно диофантово уравнение, са:

  1. Дали уравнението има поне едно решение
  2. Дали има решения различни от тези, които се намират с елементарни методи
  3. Дали има крайно или безкрайно много решения
  4. Възможно ли е (поне на теория) всички решения да бъдат описани
  5. Възможно ли е всички решения да бъдат на практика намерени

Използвани източници[редактиране | edit source]

  • В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, "Математически енциклопедичен речник", ДИ "Наука и изкуство", София, 1983
  • "Физико-математическа и техническа енциклопедия", том 1, Издателство на БАН, София, 1990
  • "The Penguin Dictionary of Mathematics", Editors: J. Dainith, R. D. Nelson, Penguin Books, 1989
  • Н. В. Александрова, "Математически термини", ДИ "Наука и изкуство", София, 1984

Външни препратки[редактиране | edit source]