Кариерата на Ковтун започва в Луч в родния му град Азов. Там играе един сезон, след което е купен от СКА Ростов. След това играе 3 сезона във ФК Ростов. През 1992 помага на тима да вземе 8 място в шампионата на Русия. През 1993 преминава в московския Динамо. Той става ключов играч в отбора и печели място в националния отбор. Играе на европейското първенство през 1996.
В продължение на 7 сезона Ковтун играе в Спартак. През 2006 г. прекратява договора си с клуба по взаимно съгласие. После играе в Алания, където е и капитан. Завършва кариерата си в МВД России през 2007, като до 2009 е и старши треньор на отбора. През 2012 играе в ЛФЛ за Арсенал Тула и записва 7 мача.