Направо към съдържанието

Гама-функция

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Гама-функция по дължина на част от реалната ос.

В математиката, гама-функция (Γ) е разширение на факториелната функция до множеството на комплексните числа. Ако n е положително цяло число, то

Гама-функцията е определена за всички комплекси числа, с изключение за неположителните числа. За комплексни числа с положителна реална част, тя се определя чрез сходящ несобствен интеграл:

Тази интегрална функция се разширява чрез аналитично продължение до всички комплексни числа, освен за неположителни числа (където функцията има прости полюси), което води до мероморфната функция, която наричаме гама-функция. Тя няма нули, така че реципрочната гама-функция 1/Γ(z) е холоморфна функция. Всъщност, гама-функцията съответства на трансформацията на Мелин на отрицателна експоненциална функция:

Гама-функцията е компонента в различни функции за разпределение на вероятностите, като например тези, които се използват в областите на теорията на вероятностите, статистиката и комбинаториката.

Основно определение

[редактиране | редактиране на кода]

Обозначението Γ(z) е въведено от Льожандър.[1] Ако реалната част на комплексното число z е положителна (Re(z) > 0), тогава интегралът

е абсолютно сходящ и е познат също като Ойлеров интеграл от втори род.[1] След интегриране по части се получава следното:

Тъй като то

Може да се изчисли :

От равенствата и следва, че

за всички цели положителни числа .

Тъждеството позволява да се разшири интегралната дефиниция на до мероморфна функция, определена за всички комплексни числа с изключение на целите неположителни числа.[1] Именно тази функция с максимално голямо дефиниционно множество обикновено се нарича гама-функция.[1]

Определение на Ойлер (като безкрайно произведение)

[редактиране | редактиране на кода]

Когато се търси приближение на z! за комплексно число z, се оказва, че е ефективно първо да изчисли n! за някакво голям число n, след което да се използва това за приближение на стойност за (n+z)!, а след това се използва рекурсивна връзка m! = m (m−1)! назад n пъти, за да се развие приближение за z!. Освен това тази апроксимация е точна в граници, когато n нараства към безкрайност.

По-конкретно, за определено цяло число m, важи

и може да се провери дали същата формула важи, когато произволно цяло число m се замени с произволно комплексно число z

Умножавайки двете страни по z!, получаваме

Това безкрайно произведение е сходящо за всички комплекси числа z освен за целите неположителни числа, при които рекурсивната връзка m! = m (m−1)!, приложена назад през стойността m = 0 включва деление на нула.

Аналогична формула във вид на безкрайно произведение важи за гама-функцията, когато нейният аргумент е произволно комплексно число с изключение на целите неположителни числа:

Основни свойства на гама-функцията:

;
за всички комплексни числа с изключение на целите неположителни числа;
за всички комплексни числа .[1]

Определение на Вайерщрас

[редактиране | редактиране на кода]

Определението на гама-функцията от Карл Вайерщрас е също валидно за всички комплексни числа z, освен за неположителни числа:

където е константата на Ойлер–Маскерони.[1]

Определяне чрез обобщените полиноми на Лагер

[редактиране | редактиране на кода]

Параметризация на непълната гама-функция чрез обобщените полиноми на Лагер:

безкрайният ред е сходящ за и .[2]

Нестандартна параметризация на непълната гама-функция чрез полиномите на Лагер:

безкрайният ред е сходящ за .

Други важни функционални уравнения за гама-функцията са формулата на отражението на Ойлер

която предполага

и дупликационната формула

Дупликационната формула е особен случай на теоремата за мултиплициране.

Просто, но полезно свойство, което може да се забележи от определянето на границите, е:

В частност, с z = a+bi, това произведение е:

Може би най-известната стойност на гама-функцията при аргумент, който не е цяло число, е:

което може да бъде намерено чрез полагане на z = 12 в дупликационанта формула или формулата на отражението, използвайки връзката с бета-функцията, дадена по-долу с x = y = 12, или просто замествайки u = x в интегралното определение на гама-функцията, което води до Гаусов интеграл. По принцип за неотрицателни стойности на n имаме:

където n!! обозначава двойния факториел на n.

Може да е примамливо резултатът да се обобщи до Γ(12) = π, търсейки формула за други индивидуални стойности Γ(r), при които r е рационално число. Обаче, тези числа не са изразими сами по себе си по отношение на елементарните функции. Доказано е, че Γ(n + r) е трансцендентно число и алгебрическо независимо от π за всяко цяло число n и за всяка от дробите r = 16, 14, 13, 23, 34, 56.[3] По принцип при изчисляването на стойности на гама-функция е добре да се използват числени приближения.

Друга полезна граница за асимптотично приближение е:

Производните на гама-функцията се описват по отношение на полигама-функция. Например:

За положително цяло число m производната на гама-функцията може да бъде изчислена така:

Производна на функцията Γ(z).

Тук γ е константата на Ойлер – Маскерони. За Re(x) > 0, n-тата производна на гама-функцията е:

Използвайки тъждеството

където ζ(z) е дзета-функция на Риман с части

се получава

Формула на Стирлинг

[редактиране | редактиране на кода]
Представяне на гама-функцията в комплексна равнина. Всяка точка е оцветена според аргумента на . Контурът на модула също е показан.
Абсолютната стойност на гама-функцията върху комплексната равнина.

Поведението на за нарастваща положителна променлива е просто: функцията нараства бързо – по-бързо от експоненциална функция. Асимптотично докато , големината на гама-функцията се извежда от формулата на Стирлинг:

където символът означава, че отношението на двете страни е сходящо към 1[1] или е асимптотично сходящо.

Поведението на функцията при неположителни е по-сложно. Ойлеровият интеграл не е сходящ за , но функцията, която определя в положителната комплексна равнина, има уникално аналитично продължение към отрицателната равнина. Един начин да се намери това аналитично продължение е да се използва интеграла на Ойлер за положителни аргументи и да се разшири областта до отрицателните числа чрез постоянно прилагане на рекурсивната формула,[1]

избирайки такова , че да е положително. Произведението в знаменателя е нула, когато е равно на кое да е от целите числа . Оттук, гама-функцията трябва да е неопределена в тези точки, за да се избегне деление на нула. Това е мероморфна фнукция с прости полюси при неположителни цели числа.[1]

Това определение може да бъде пренаписано така:

За функция с комплексна променлива , при прост полюс остатъкът на се извежда чрез:

Когато

и

Така че, остатъците на гама-функцията в тези точки са:

Гама-функцията е ненулева навсякъде по дължина на реалната ос, макар че става произволно близка до нула, докато z → −∞. Всъщност, не съществува комплексно число , за което и следователно реципрочната гама-функция е цяла функция с нули при .[1]

Гама-функцията има локален минимум при , където достига стойност от . Гама-функцията трябва да има редуващ се знак между полюсите, защото произведението в напредващата рекурсивност съдържа нечетен брой отрицателни коефициенти, ако броят полюси между и е нечетен, и четен брой, ако броят полюси е четен.

Разширение чрез ред на Фурие

[редактиране | редактиране на кода]

Логаритъмът на гама-функцията има следното разширение чрез ред на Фурие за :

През 1840 г. Йозеф Лудвиг Раабе доказва, че

В частност, ако a = 0, тогава

Тази формула се използва, когато искаме да получим сходяща версия на формулата на Стирлинг. С помощта на формулата на трапеците може да се покаже, че

Алтернативна нотация, първоначално въведена от Гаус, е пи-функцията, която по отношение на гама-функцията е:

така че Π(n) = n! за всяко неотрицателно цяло число n.

Използвайки пи-функция, формулата на отражение приема формата

където sinc е нормализираната функция sinc, докато теоремата за мултиплициране приема формата

Понякога може да се намери и

което е цяла функция, определена за всяко комплексно число, също както и реципрочната гама функция. Това, че е цяла, ще рече, че няма полюси, така че , също както и , няма нули.

Обемът на n-елипсоид с радиуси r1, …, rn може да бъде изразен като

Определени стойности

[редактиране | редактиране на кода]

Някои определени стойности на гама-функцията са:

Гама-функцията с комплексни стойности е неопределена за неположителни числа, но в тези случаи стойността може да се определени в Риманова сфера като . Реципрочната гама функция е точно определена и аналитична при този стойности (и в цялата комплексна равнина):

  1. а б в г д е ж з и к Davis, P. J. Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function // American Mathematical Monthly 66 (10). 1959. DOI:10.2307/2309786. Архивиран от оригинала на 2012-11-07. Посетен на 3 декември 2016.
  2. Askey, R. A., Roy, R. Series Expansions. 8.7.
  3. Waldschmidt, M. Transcendence of Periods: The State of the Art // Pure Appl. Math. Quart. 2 (2). 2006. DOI:10.4310/pamq.2006.v2.n2.a3. с. 435 – 463.