Шестнайсетична бройна система

Шестнайсетичната бройна система е позиционна бройна система, в която числата се представят с помощта на 16 динамични символа. Символите от 0-9 са представени чрез арабски цифри, а латинските букви A, B, C, D, E, F (или a-f) взимат стойностите от 10-15. Всяка шестнайсетична цифра се представя като група от четири двоични цифри (бит). Причина за това е, че за съхраняването на данните в оперативната памет на електронноизчислителни машини се използва двоичен код.

Представяне

Писмено представяне

Използване на 0–9 и A–F

ca

	0hex	=	0dec	=	0oct		0	0	0	0
	1hex	=	1dec	=	1oct		0	0	0	1
	2hex	=	2dec	=	2oct		0	0	1	0
	3hex	=	3dec	=	3oct		0	0	1	1
	4hex	=	4dec	=	4oct		0	1	0	0
	5hex	=	5dec	=	5oct		0	1	0	1
	6hex	=	6dec	=	6oct		0	1	1	0
	7hex	=	7dec	=	7oct		0	1	1	1
	8hex	=	8dec	=	10oct		1	0	0	0
	9hex	=	9dec	=	11oct		1	0	0	1
	Ahex	=	10dec	=	12oct		1	0	1	0
	Bhex	=	11dec	=	13oct		1	0	1	1
	Chex	=	12dec	=	14oct		1	1	0	0
	Dhex	=	13dec	=	15oct		1	1	0	1
	Ehex	=	14dec	=	16oct		1	1	1	0
	Fhex	=	15dec	=	17oct		1	1	1	1

За да не се обърква представянето на символите в различните бройни системи се използват няколко установени практики. Една от тях е при изписването на знаците да се слага долен индекс, който показва основата на бройната система. Например 119₁₀ в десетична и е равно на 77₁₆ в шестнайсетична. Други предпочитат индекса да е текстов 119_decimal или 119_d - десетична, 77_hex или 77_h– шестнайсетична. Изписването на отрицателни числа става по същият начин както и в десетична бройна система с "-".

При разработката на софтуер са разработи различни методи за представянето на шестнайсетичните символи:

• В URIs (както и в URLs), низ от символи написан като шестнайсетична двойка се изписва с „%“: http://www.example.com/name%20with%20spaces, където %20 е празното място между знаците (стойности 20₁₆ и 32₁₀).
• В XML и XHTML знаците могат да бъдат изразени с аритметични код като „&#xcode“, където „code“ e 1-6 цифрено шестнайсетично число добавено към символ от [Уникод|Unicode]. Вследствие &#x007А е еквивалент на „z“(Unicode стойност 007А, десетична 122)
• Цветовата гама в HTML, CSS и X Windows могат да бъдат изразени с шест цифрен шестнайсетичен код (по две за червено, зелено и синьо, подредени в този ред) предхождан с #: бялото се възпроизвежда с #FFFFFF. В [CSS] това може да се представи и с 3 знака #FFF(бяло)
• В програмни езици като C++, C#, Java, JavaScript, Python и Windows PowerShell се пише 0x пред шестнайсетичното число:0xA12. Символи или символни низове могат да се представят с \x последвани от два шестнайсетични символа:\x1B.а
• Други езици като Pascal, Delphi, някои версии на BASIC ( Commodore ), GML и Forth използвате $ като префикс: $ 5A3.ac
• В Unicode стандарт, символна стойност се представя с U + следвана от шестнайсетичен стойност: U +03B1 - гръцката буква алфа (α).
• Всички IPv6 адреси могат да бъдат записани като осем групи от по четири шестнайсетични цифри, където всяка група е отделена от двоеточие ( : ).Валиден IPv6 адрес: 2001:0 db8: 85a3: 0000:0000:8 A2E: 0370:7334

Ранните писмени представяния

Изборът на буквите от А - F да заместят цифрите от 10-15 не е универсален в ранната история на компютрите.

• Bendix G-15 компютри са използвали буквите U - Z вместо А - F.
• The Librascope LGP-30 използва букви F, G, J, K, Q и W.

Ранно използване на шестнайсетична бройна система в компютъра

Двоичната бройна система е много добра за компютрите, но има малък недостатък – броят на цифрите расте неимоверно бързо. Както се оказва, има и друга бройна схема, която също е благоприятна за компютрите: шестнайсетичната. Преди години, когато компютърът е бил все още съвсем ново откритие, хората, които го проектирали осъзнали, че трябва да се създаде стандарт за съхранение на информация. Тъй като компютрите могат да смятат само с двоични числа - букви, текст и други символи трябвало да бъдат съхранени като числа. Но притеснението им не е било само това. Те трябвало да се уверят, че числото, което, представя примерно ‘А’, ще бъде едно и също на всички компютри. За да се улесни това се създала ASCII (от Английски език – American Standard Code for Information Interchange) таблицата. В нея има невидими символи, които изпълняват определи функции, като отместване на указателя (09), звън (07). Могат да се използват различни комбинации на само осем двоични цифри, или битове, за да се представи всеки символ на ASCII графиката. 128 знака можели да изглеждат много, но не след дълго разработчиците забелязали липсата на много от специалните гласни, използвани от латинския език, различни от английския език като например: ä, é, û и Æ. Също липсвали и математически символи (±, µ, °, ¼) и знаци за парични валути, различни от ($) като (£, ¥, ¢). За да се компенсира тази липса, ASCII таблицата била разширена от 128 на 256 символа.

Стойността на 256 може да бъде представена като шестнайсет на втора степен, което ни връща към шестнайсетична бройна система. Оказва се, че всеки символ на ASCII таблицата може да се представи чрез двуцифрено число в шестнайсетична бройна система – от 00 до FF.

Преобразуване

Човек е свикнал да работи в десетична бройна система, но компютрите работят в двоична бройна система (съставена само от 0-ли и 1-ци). Целта на шестнайсетичната бройна система е да помогне на хората, когато работят с големи числа.

Decimal	Binary	Hex
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

От Двоична в Шестнайсетична

Ако искаме да сметнем числото 01101000101000101111 ₍₂₎ до число с база ₍₁₆₎, първо се разделя двоичното число на групи от по четири:

0110 1000 1010 0010 1111

Гледайки горната таблица заместваме:

0110 = 6

1000 = 8

1010 = A

0010 = 2

1111 = F

Когато се съберат се получава, че 01101000101000101111 ₍₂₎ = 68A2F₍₁₆₎.

От Шестнайсетична в Двоична

Числото 68A2F₍₁₆₎ в двоична бройна система:

6 = 0110

8 = 1000

А = 1010

2 = 0010

F = 1111

Когато се съберат се получава, че = 68A2F₍₁₆₎ = 01101000101000101111 ₍₂₎.

От Десетична в Шестнайсетична

Имаме числото 428591. Всяка цифра се разделя на 16 и се взима нейният остатък. Полученото от делението число делим отново на 16, дотогава докато се получи 0 за резултат. Получените от остатъка числа се вземат отзад напред (от последното деление до първото) и се получава числото в шестнайсетична бройна система.

428591	÷	16	=	26786	остатък	15
26786	÷	16	=	1674	остатък	2
1674	÷	16	=	104	остатък	10
104	÷	16	=	6	остатък	8
6	÷	16	=	0	остатък	6

Гледаме остатъка отзад напред и получаваме, че 428591₍₁₀₎ = 68A2F₍₁₆₎.

Това е C# имплементация на горния алгоритъм

static string baseToHex(int dec)
    {
        var sb = new StringBuilder();
        while( dec > 1 )
        {
            var r = dec % 16;
            dec /= 16;
            sb.Insert( 0, ((int)r).ToString( "X" ) );
        }
        return sb.ToString();
    }

От Шестнайсетична в Десетична

Имаме числото 68A2F₍₁₆₎. Взимат се цифрите отзад напред, всяка се умножава с 16^[0..n]. Резултатът се събира.

F	*	160	=	15	*	1	=	15
2	*	161	=	2	*	16	=	32
A	*	162	=	10	*	256	=	2560
8	*	163	=	8	*	4096	=	32768
6	*	164	=	6	*	65536	=	393216

15 + 32 + 2560 + 32768 + 393216 = 428591

И получаваме, че 68A2F₍₁₆₎ = 428591₍₁₀₎.

Това е C# имплементация на горния алгоритъм

static int hexToBase(string hex)
    {
        hex = hex.ToLower();
        int dec = 0;
        for(int i = hex.Length -1, power = 0; i >=0; i--, power++)
        {
            char c = hex[i];
            if (c >= 'a' && c <= 'z')
            {
                int temp = 0;
                switch (c)
                {
                    case 'a': temp = 10; break;
                    case 'b': temp = 11; break;
                    case 'c': temp = 12; break;
                    case 'd': temp = 13; break;
                    case 'e': temp = 14; break;
                    case 'f': temp = 15; break;
                }
                dec += temp * (int)Math.Pow(16, power);
            }
            else
            {
                dec += Convert.ToInt32(c.ToString()) * (int)Math.Pow(16, power);
            }
        }
        return dec;
    }

Инструменти за превръщане на бройни системи

Съвременните операционни системи с графичен интерфейс предлагат калкулатори, способни да преминават през различни бройни системи.

Във Microsoft Windows, на калкулаторът може да бъде зададен научен стил/програмистки стил, който предлага преобразуване от двоична, осмична, десетична и шестнайсетична бройни системи. За шестнайсетична бройна система има специални бутони от A до F, които стават активни, когато се избере бройната система(Hex). Но в шестнайсетичен стил калкулаторът може да смята само цели числа.

В Ubuntu, калкулаторът има научен изглед, който също поддържа пресмятането от различни бройни системи, което включва шестнайсетична. Също както във Microsoft Windows, има специални бутони от A до F.

В Mac OS X вграденият калкулатор не поддържа пресмятането на различни бройни системи.

Други варианти:

• https://www.google.com/

Може да се използва директно в търсачката като синтаксисът е следният:

При двоична -> 0b111

Като 0b винаги стои пред числото, за което се търси.

При шестнайсетична -> 0x23A1F

Като 0x винаги стои пред числото, за което се търси.

При осмична -> 0o40

Като 0o винаги стои пред числото, за което се търси.

Съответно в зависимост от бройната система, в която искате да преобразувате систаксиса е : in decimal, in hex, in binary, in octal

Примери: 0b111 in decimal; 0x23A1F in decimal; 32 in binary; 32 in hex; 32 in octal; 0o40 in hex

Степени

Най-широко използваната степен, тази на двойката, е лесна за представянето на числа в шестнайсетична бройна система. Примери за степени на двойката са показани по-долу:

2x	стойност
20	1
21	2
22	4
23	8
24	10hex
25	20hex
26	40hex
27	80hex
28	100hex
29	200hex
2A(210dec)	400hex
2B(211dec)	800hex
2C(212dec)	1000hex
2D(213dec)	2000hex
2E(214dec)	4000hex
2F(215dec)	8000hex

Дори по-лесна за използване е степента на четворката, защото квадратът на четири прави шестнайсет – основата на шестнайсетичната бройна система. Примери за степени на четворката са показани по-долу:

4x	стойност
40	1
41	4
42	10hex
43	40hex
44	100hex
45	400hex
46	1000hex
47	4000hex
48	10000hex

Култура

Етимология

Думата хексадесимал е съставена от хекса- (от Гръцки език – „шест”) и –десимал (от Латински език – „десет”). За първи път думата хексадесимал, заместваща ранната латинска интерпретация - сексадесимал, се появява през 1954 година. Думата шестдесетичен (за шестдесетична бройна система) запазва латинското си название „сексагесимал”. Доналд Кнут е посочил, че правилният термин е „сенидъри”(от Английски – „senidery”) за латинското наименувание – „групирани по 16”. Алфред Б. Тейлър е използвал „сенидъри” в средата на 18 век в неговата документация за алтернативни бройни системи, въпреки че той отхвърля използването на шестнайсетична бройна система заради „неудобния брой цифри”. Шварцман отбелязва, че шестнайсетичната бройна система трябва да носи наименуванието си от Латински, а именно – „сексадесимал”. Но неговите опасения са, че компютърните хакери биха съкратили думата просто на „секс”. Етимологическото правилно гръцко понятие би било „хексадъкейдик” (въпреки че в съвременния гръцки език е по-разпространено „дека-хексадик”).

Използване в китайската култура

Традиционните китайски единици за тегло са в шестнайсетична бройна система. Например, един джин в старата система се равнява на шестнайсет таела. Китайското сметало може да се използва за извършване на шестнайсетични изчисления.

Основни абревиатури

Цяло наименование на бройна система	Абревиатура	Основа
Двоична (Шаблон:Lang-en)	bin	2
Осмична (Шаблон:Lang-en)	oct	8
Десетична (Шаблон:Lang-en)	dec	10
Шестнайсетична (Шаблон:Lang-en)	hex	16

Източници

• http://www.codemastershawn.com/library/tutorial/hex.bin.numbers.php
• http://www.learning-about-computers.com/tutorials/binary_and_hexidecimal.shtml