Епициклоида

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Конструкция на епициклоида

Епициклоида в геометрията е равниннна крива от четвърта степен, получена като геометричното място на фиксирана точка от окръжност, наречена епицикъл, която се търкаля от външната страна на друга окръжност, наречена направляваща, с радиус равен или по-голям от радиуса на епицикъла.

Уравнения[редактиране | edit source]

Ако радиусът на епицикъла е означен с r, а този на направляващата окръжност - с R, то параметричните уравнения на епициклоидата са:

\begin{cases} x(\theta) = (R + r)\cos \theta - r \cos (\frac{R + r}{r} \theta) \\ y(\theta) = (R + r)\sin \theta - r \sin (\frac{R + r}{r} \theta) \end{cases},

където \theta е ъгълът между абсцисната ос и правата свързваща центровете на двете окръжности.

Да положим R = rk. Тогава:

Епициклоидата е частен случай на епитрохоида, при която точката, която описва въртеливото движение, е фиксирана върху окръжността. Епициклоида с една рогова точка (при r = R) са нарича кардиоида (от "кардиа", "сърце"), с две рогови точки - нефроида (от "nephros", "бъбрек"), а с пет рогови точки - ранункулоида (от "ranunculus", "лютиче").

История[редактиране | edit source]

Идеята за епициклите се заражда още в древността, когато Аполоний и Хипарх се опитват да ги използват за обясняване движението на небесните тела. Думата "епицикъл" се среща у Теон от Смирна (130 г.пр.н.е.) и у Птолемей. Съставена е от "επι", "към" и "κυκλος", "кръг". Първата конкретна епициклоида е разглеждана геометрично от Албрехт Дюрер през 1525 г. Около 1674 г. Оле Рьомер показва, че зъбните колела с форма на епициклоида изпитват минимално триене. Епициклоидите се срещат и в труда на Исак Нютон "Математически принципи на натуралната философия", в които той показва редица техни приложения в механиката. Бернули и Лопитал също ги разглеждат, под името "roulettes extérieures". За първи път тези криви са систематично представени от Филип де Лаир, който открива повечето от свойствата им, изчислява квадратурите, ректифицира кривите и ги "узаконява" с познатото днес наименование.

Вижте също[редактиране | edit source]

Използвани източници[редактиране | edit source]

  • "The Penguin Dictionary of Mathematics", John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989
  • "Лексикон Математика", Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN 954-584-146-Х
  • "Математически термини", Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984
  • "Математически енциклопедичен речник", В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983

Външни препратки[редактиране | edit source]