Хипоциклоида

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Конструкция на хипоциклоида

В геометрията, хипоциклоида е равнинна крива, която се дефинира като геометричното място на фиксирана точка от окръжност, която се търкаля по вътрешната страна на друга окръжност, наречена направляваща, с радиус по-голям от радиуса на първата.

Уравнение[редактиране | edit source]

Нека търкалящата се окръжност има радиус r, а направляващата окръжност — R. Тогава параметричните уравнения на кривата се задават с:

допусната е грешка - във формулата за y знака е минус!

\begin{cases} 
x(\theta) = (R - r) \cos \theta + r \cos(\frac{R - r}{r} \theta) \\ y(\theta) = (R - r) \sin \theta + r \sin(\frac{R - r}{r} \theta) \\ \end{cases} ,

където \theta е ъгълът образуван от абсцисната ос и правата минаваща през центровете на двете окръжности.

Нека представим R във вида R = kr. Тогава:

Връзка с други криви
  • Хипоциклоидата е частен случай на хипотрохоида, при която фиксираната точка принадлежи на окръжността.
  • Хипоциклоидата с четири рогови точки е известна като астроида.
  • Еволютата на хипоциклоидата е нейна увеличена версия, а инволютата ѝ - нейна умалена версия.

История[редактиране | edit source]

Наименованието идва от гръцки, съставено е от "„, «под» и “", „кръгообразен“. Първата циклоида е разгледана от Албрехт Дюрер в „Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Rychtscheyd“ („Наставление за измерването с пергел и линийка“, 1525). Филип де Лаир извършва първото систематично изследване на хипоциклоидите и епициклоидите, като намира квадратурите им, извършва ректификации и построения на допирателните. По-късно с тези криви се занимават и Леонард Ойлер, Жозеф Алфред Сере, Гаспар Монж и други.

Вижте също[редактиране | edit source]

Източници[редактиране | edit source]

  • „The Penguin Dictionary of Mathematics“, John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989
  • „Лексикон Математика“, Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN 954-584-146-Х
  • „Математически енциклопедичен речник“, В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983

Външни препратки[редактиране | edit source]