Имагинерна единица
В математиката, физиката и инженерните науки имагинерната единица се означава с или латинското или гръцката буква (ι) (Виж алтернативните означения по-долу). Тя позволява системата на реалните числа, , да бъде разширена до системата на комплексните числа, Точната дефиниция на термина зависи от специфичния метод на разширение.
Главното основание за това разширение е фактът, че не всяко полиномиално уравнение има реални решения. Например, уравнението няма реално решение (виж „Определение“ по-долу). Въпреки това, ако приемем комплексните числа за приемливи решения, всяко полиномиално уравнение има решение. (Виж затвореност.)
За историята на имагинерната единица виж история на комплексните числа.
Определение
[редактиране | редактиране на кода]По определение, имегинерната единица е едното решение (от две възможни) на квадратното уравнение
или съответно
- .
Доколкото не съществува реално число, което дава отрицателно реално число след като бъде повдигнато на квадрат, ние си въобразяваме (imagine) такова число и го означаваме със символа i. Дефиницията на i, макар и по-малко „интуитивна“ от тази на реалните числа, е коректна от математическа гледна точка.
Действията с реални числа могат да бъдат разширени до действия с имагинерни и комплексни числа, приемайки i като неизвестна количествена величина, докато обработваме израза, и след това, използвайки определението, да заместим на всички места, на които се появява i 2 с −1. По-високите степени на също могат да бъдат заместени с −i, 1, , или −1:
i и −i
[редактиране | редактиране на кода]Доколкото е полином (многочлен) от втора степен, а дискриминантата му е различно от нула (т.е. няма повтарящи се корени), горното уравнение има две различни решения, които са еднакво валидни, а в конкретния случай и взаимно инверсни както адитивно, така и мултипликативно. По-точно, ако едното решение на уравнението сме означили с , стойността − (която не е равна на ) също е негово решение. Доколкото уравнението е единственото определение на , излиза, че определението ни е двусмислено (по точно, не добре дефинирано). Въпреки това, ако изберем едното от решенията за „положително ", ние не получаваме противоречащи си един на друг резултати. Това е така, защото въпреки че − и не са количествено еквивалентни (те са отрицателни едно по отношение на друго), няма качествена разлика между и − (което не може да бъде казано за −1 и +1). Двете имагинерни единици имат еднакво основание да бъдат числото, чийто квадрат е −1. Ако всички публикации и учебници по математика, свързани с имагинерните или комплексните числа, бъдат пренаписани, като на всяко място, където се появява −, се замести с + (и следователно на всяко място, където се появява −, се замести с −(−) = +), всички математически факти и теореми ще продължат да бъдат еднакво валидни. Разграничаването на двата корена в уравнението с означаването на единия от тях като „положителен“ е артефакт изключително на нотацията; за нито един от двата корена не може да се каже, че е по-първостепенен или фундаментален от другия.
Този резултат крие някои тънкости. По-прецизното обяснение изисква да кажем, че въпреки че комплексното поле, определено като R[X]/ (X2 + 1), (виж комплексно число) е еднозначно до степен на изоморфизъм, то не е еднозначно до степен на еднозначен изоморфизъм – съществуват точно 2 автоморфизма на R[X]/ (X2 + 1), идентичността и автоморфизмът, изобразяващ X като −X. (Това не са единствените автоморфизми в полето C, но са единствените, които съхраняват стойностите на всички реални числа фиксирани.) Виж комплексно число, комплексно спрягане, автоморфизъм, и група на Галоа.
Подобни резултати се получават и ако комплексните числа се интерпретират като 2 × 2 реални матрици (виж комплексно число), защото тогава както
така и
са решения на матричното уравнение
- .
В този случай двусмисленият резултат произтича от геометричния избор в коя „посока“ около единичната окръжност е „положителната“ ротация. По-прецизното обяснение изисква да кажем, че групата на автоморфизъм на SO (2, R) има точно 2 елемента – идентичността и автоморфизмът, който преобразува ротацията по часовниковата стрелка в ротация срещу часовниковата стрелка, и обратно.
Всички тези противоречия могат да бъдат решени чрез избор на по-строга дефиниция на комплексните числа, и експлицитно избирайки едно от решенията на уравнението за имагинерна единица.
Прецизна употреба
[редактиране | редактиране на кода]Имагинерната единица понякога бива означавана като ; при всички случаи трябва да се подхожда голямо внимание при преобразуване на формули, които съдържат радикали. Нотацията е запазена единствено за квадратния корен като функция, дефинирана единствено за реални числа ≥ 0. Опитът да се приложат правилата за преобразуване на математически изрази, които съдържат реалната функция корен квадратен, към математически изрази, които съдържат комплексната функция корен квадратен, ще доведе до погрешен резултат:
- (погрешно)
Правилото
е валидно само за реални, неотрицателни стойности на и .
За да се избегнат подобни грешки, когато се извършват действия с комплексни числа, стратегията е никога да не се употребява отрицателно число под знака за квадратен корен. Вместо да се запише израз от вида например, прецизният запис налага да запишем . Това е и причината, поради която е въведена имагинерната единица.
Корен квадратен от имагинерна единица
[редактиране | редактиране на кода]Може да предположим, че ще се наложи да разширим множеството на имагинерните числа, за да въведем квадратния корен от i. Това обаче не е необходимо и той може да бъде записан като което и да е от две комплексни числа [1]:
Това лесно може да бъде доказано:
Степени на i
[редактиране | редактиране на кода]Степените на се повтарят циклично:
В случая n е произволно избрано цяло число.
Оттук следва изводът, че
- .
i и формулата на Ойлер
[редактиране | редактиране на кода]Формулата на Ойлер гласи:
- ,
където x е реално число. Формулата може също да бъде аналитично разширена за комплексни x.
Замествайки , получаваме
и достигаме до елегантното тъждество на Ойлер:
- .
Това забележително просто равенство свързва пет важни математически величини (0, 1, π, e, чрез i) чрез основните действие сумиране, умножение и повдигане на степен.
Пример
[редактиране | редактиране на кода]Заместването на , където N е произволно избрано цяло число, дава
Или, повдигайки всяка от страните на степен ,
или
- ,
което показва, че има безкраен брой елементи от вида
където N е произволно цяло число. Тази реална стойност, въпреки че е реална, не е еднозначно определена. Причината за това се съдържа във факта, че комплексният логаритъм е функция, която има много значения.
Действия с i
[редактиране | редактиране на кода]Много математически операции, които магат да бъдат извършени с реалните числа, могат да бъдат извършени също с , като повдигане на степен, коренуване, логаритмуване и тригонометрични функции.
Число, повдигнато на степен , дава:
Корен ти от число е:
Логаритъм при основа от число е:
Косинусът на е реално число:
Синусът на е имагинерен:
Алтернативни означения
[редактиране | редактиране на кода]- В електроинженерните науки и свързаните с тях области имагинерната единица често се записва като за да се избегне объркване с електрическия ток като функция от времето, по традиция означаван с или просто Програмният език Python също използва j за означаване на имагинерната единица, докато в Matlab и двете означения i и j са свързани с имагинерната единица.
- По-внимателен подход изискват и някои учебници, където по дефиниция j = −i, в часност при случаите с разпространение на вълна (напр. плоска вълна, разпространяваща се надясно в направление x ).
- Някои текстове използват гръцката буква йота (ι) за означаване на имагинерната единиза с цел да се избегне объркване.
Бележки
[редактиране | редактиране на кода]- ↑ ((en)) На колко е равен квадратният корен от i?. Посетен на 15 декември 2010.
Вижте също
[редактиране | редактиране на кода]Външни препратки
[редактиране | редактиране на кода]Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Imaginary unit в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.
ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни. |