Направо към съдържанието

Вписани окръжности в триъгълник

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Вътрешно и външновписани окръжности в триъгълник

Вътрешновписана (или само вписана) окръжност в триъгълник се нарича окръжността с най-голям радиус, която се съдържа в даден триъгълник. Тази окръжност се допира до трите страни на триъгълника. Във всеки триъгълник съществува единствена вътрешновписана окръжност. Външновписани окръжности в триъгълник са окръжностите, които се допират до една от страните на триъгълник и до продълженията на другите две страни. За всеки триъгълник съществуват точно три външновписани окръжности.

Центърът на вътрешновписаната окръжност съвпада с пресечната точка на ъглополовящите на вътрешните ъгли на триъгълника. Центърът на външновписаните окръжности съвпада с пресечната точка на една от ъглополовящите на вътрешните ъгли с ъглополовящите на външните ъгли при другите два върха на триъгълника. Поради това центърът на вътрешновписаната окръжност е ортоцентър за триъгълника с върхове – центровете на външновписаните окръжности.

Триъгълник с вътрешновписана окръжност, допирен триъгълник и точка на Жергон

Радиусите на вписаните в триъгълник окръжности са пряко свързани с лицето на триъгълника. Ако S е лицето на триъгълника, а дължините на страните на триъгълника са означени с a, b и c, радиусът на вътрешновписаната окръжност може да се изрази като . При същите означения външновписаната окръжност, която се допира до страната a, може да се изрази като , до страната b като и до страната c като .

Във всеки триъгълник окръжността на деветте точки се допира до трите външновписани окръжности и до вътрешновписаната окръжност на триъгълника. На вътрешновписаната окръжност в триъгълника лежи точката на Фойербах.

Трите точки, в които вътрешновписаната окръжност се допира до страните на триъгълник, образуват т.нар. допирен триъгълник или триъгълник на Жергон, като вътрешновписаната окръжност е описана около допирния триъгълник. Пресечната точка на трите прави, свързващи връх на триъгълника със срещуположния връх на допирния триъгълник, се пресичат в една точка – точката на Жергон. В допирния триъгълник точката на Жергон съвпада с пресечната точка на симедианите - точка на Лемуан.

В правоъгълен триъгълник радиусът на вътрешновписаната окръжност е равен на , където a и b са дължините на двата катета, а c е дължината на хипотенузата.