Кръстосано умножение

Кръстòсано умножèние в математиката е действие при дробни изрази, което е умножаване на числителя на първата дроб по знаменателя на втората и знаменателя на първата дроб по числителя на втората. Използва се в елементарната аритметика и елементарната алгебра като правило при деление на дроби, преобразуване на равенство на две дроби в недробен израз, проверка на пропорция и намиране на неизвестната величина в равни съотношения чрез тройно правило. Чрез кръстосано умножение може да се опрости уравнение или да определи стойността на променлива.

Методът понякога е известен и като умножение на кръст или „прекоси сърцето си“, тъй като могат да бъдат начертани линии, наподобяващи контур на сърце, за да се запомни кои неща да се умножат заедно.

Кръстосано умножение в пропорция

Ако е дадено уравнението

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},$

където $b$ и $d$ не са нула, може да се извърши кръстосано умножение

$ad=bc\quad {\text{или}}$

$a={\frac {bc}{d}},\quad b={\frac {ad}{c}},\quad c={\frac {ad}{b}},\quad d={\frac {bc}{a}}.$

В евклидовата геометрия същото изчисление може да се постигне, като се разглеждат съотношенията като тези на подобни триъгълници.

Тройно правило

Ако в горните формули една от четирите величини в пропорцията е неизвестна, тя може да се определи от останалите три чрез кръстосано умножение. Това се нарича тройно правило или просто тройно правило:

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{x}},$

откъдето неизвестната величина $x$ се определя по формулата

$x={\frac {bc}{a}}.$

Тук $a$ се нарича екстремум на пропорцията, а $b$ и $c$ се наричат средни стойности.

Примери:

1. Ако една кола изминава 120 km за 2 часа, за колко часа ще измине 480 km?
Решение: Пропорцията е

${\frac {120}{2}}={\frac {480}{x}},$

откъдето за неизвестното време се получава

$x={\frac {2\times 480}{120}}=8$ часа

2. Да се определи височината $h$ към хипотенузата $c$ в правоъгълен триъгълник, ако са известни трите му страни $a$=6 cm, $b$=8 cm и $c$=10 cm.
Решение: Височината $h$ към хипотенузата дели правоъгълния триъгълник на два подобни нему триъгълника, откъдето се получава пропорцията

Правоъгълен триъгълник

${\frac {a}{h}}={\frac {c}{b}}\quad {\text{или}}$ $\quad ab=ch.$

От тук неизвестната височина $h$ се определя по формулата

$h={\frac {ab}{c}}={\frac {6\times 8}{10}}=4,8$ cm.

Задачата може да се реши и ако са дадени само две от страните. От тях може да се намери третата страна, като се има пред вид, че съотношението на страните в правоъгълния триъгълник е 3:4:5.

3. Да се определи ъгълът срещу известна страна в произволен триъгълник, ако са дадени друга страна и ъгълът срещу нея. Или да се определи неизвестна страна в произволен триъгълник, ако са дадени ъгълът срещу нея, друга страна и ъгълът срещу нея.
Решение: Използва се синусовата теорема

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,$

където $R$ е радиусът на описаната около триъгълника окръжност. Синусовата теорема може да се използва, за да бъдат намерени другите две страни на триъгълник, ако са известни два ъгъла и една страна.

Двойно тройно правило

Разширение на тройното правило е двойното тройно правило, което е за намиране на неизвестна стойност, когато са известни пет, а не три други стойности.

Пример за такава задача може да бъде следният:
„Ако 6 строители могат да построят 4 къщи за 100 дни, колко дни ще са необходими на 10 строители, за да построят 20 къщи със същата скорост?“

От условието се съставят съотношенията:

${\frac {\frac {4\ {\text{къщи}}}{100\ {\text{дни}}}}{6\ {\text{строители}}}}={\frac {\frac {20\ {\text{къщи}}}{x\ {\text{дни}}}}{10\ {\text{строители}}}},$

което с кръстосано умножение два пъти дава

$x={\frac {20\ {\text{къщи}}\times 100\ {\text{дни}}\times 6\ {\text{строители}}}{4\ {\text{къщи}}\times 10\ {\text{строители}}}}=300\ {\text{дни}}.$

„Песента на лудия градинар“ на Луис Карол включва редовете:

„Той си помисли, че вижда градинска врата,
която се отваря с ключ.
Той погледна отново и откри, че е
двойно тройно правило“.

Действия с дроби

Обикновени дроби се делят чрез умножение на кръст – числителят на едната по знаменателя на другата:

${\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}$.

При съкращаване и разширяване на обикновени дроби стойността им не се изменя, което се доказва чрез кръстосано умножение:

${\frac {24}{25}}={\frac {96}{100}}\quad$ защото $\quad 24\times 100=25\times 96;$

${\frac {125}{1000}}={\frac {1}{8}}\quad$ защото $\quad 125\times 8=1000\times 1.$

Вижте също

• Оборот

Литература

• Brian Burell – Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference. Merriam-Webster, 1998, ISBN 9780877796213, pp. 85-101
• The Rule of Three, Mathematics: Toolkit. Тройно правило, приложено от Михаил от Родос през XV век
• Math Words, pg 18 – The Rule of Three. Съкратена аритметична система на Пайк: предназначена да улесни изучаването на науката за числата, разбирайки най-очевидните и точни правила, илюстрирани с полезни примери, към които са добавени подходящи въпроси за изпит от учени и кратка система от съхранени книги, 1827 – факсимиле на съответния раздел
• Multiplication is Vexation. Тройно правило в Mother Goose
• Dr Math – Rule of Three. Тройно правило в NCTM
• Dr Math – Abraham Lincoln and the Rule of Three. Ейбрахам Линкълн и тройното правило, NCTM