Детерминанта: Разлика между версии
м Премахнати редакции на 130.185.241.250 (б.), към версия на Vodenbot Етикет: Отмяна |
м без интервал |
||
Ред 6: | Ред 6: | ||
По дефиниция детерминантата на една матрица е равна на: |
По дефиниция детерминантата на една матрица е равна на: |
||
: <math>\left | A \right | = \sum (-1)^t a_{1 i} a_{2 j} \ldots a_{n k}</math> |
: <math>\left | A \right | = \sum (-1)^t a_{1 i} a_{2 j} \ldots a_{n k}</math> |
||
където ''t'' е броят на [[инверсия (пермутация)|инверсиите]] в пермутацията (i, |
където ''t'' е броят на [[инверсия (пермутация)|инверсиите]] в пермутацията (i, j, … , k). |
||
Чрез изваждане пред скоби на даден елемент ''a<sub>ij</sub>'' в скобите остава съответното [[адюнгирано количество]] ''A<sub>ij</sub>''. Съгласно [[Теорема на Лаплас|теоремата на Лаплас]] детерминантата може да се развие по произволен ред ''i'' или по стълб ''j'': |
Чрез изваждане пред скоби на даден елемент ''a<sub>ij</sub>'' в скобите остава съответното [[адюнгирано количество]] ''A<sub>ij</sub>''. Съгласно [[Теорема на Лаплас|теоремата на Лаплас]] детерминантата може да се развие по произволен ред ''i'' или по стълб ''j'': |
Версия от 15:56, 7 януари 2020
Детерминанта в алгебрата е функция, съпоставяща на квадратна матрица над комутативен пръстен с единица K елемент от пръстена – многочлен, в който всеки едночлен е произведение от по един множител от всеки ред и стълб на матрицата с определен знак в зависимост от четността на пермутацията от елементи.
Детерминантата е важна характеристика на матриците с разнообразно приложение в линейната алгебра, комплексния и функционалния анализ, аналитичната и диференциалната геометрия и др.
Начини за изчисляване
По дефиниция детерминантата на една матрица е равна на:
където t е броят на инверсиите в пермутацията (i, j, … , k).
Чрез изваждане пред скоби на даден елемент aij в скобите остава съответното адюнгирано количество Aij. Съгласно теоремата на Лаплас детерминантата може да се развие по произволен ред i или по стълб j:
При матрица 2 × 2, формулата за намиране на детерминанта е:
Ако имаме матрица A – 3 × 3, намираме детерминантата |A| така:
Всяка детерминанта на матрица 2 × 2 се нарича минор на матрицата. Същата процедура може да се използва, за да се намери детерминантата на матрица 4 × 4, 5 × 5 и така нататък.
Свойства
Ако стълбовете на матрицата се разглеждат като вектори от линейно пространство, то антисиметричната полилинейна форма D върху пространството M, която приема стойност единица върху базисните вектори на пространството, е детерминанта. Такова определение е коректно, защото съществува единствена такава форма[1].
- Ако ред (стълб) от матрицата се умножи с число, то детерминантата се умножава със същото.
- Ако се разменят местата на два реда, детерминантата мени знака си.
- Ако ред се умножи с число и се прибави към друг ред, детерминантата не се променя.
Източници
- ↑ Б.Л. ван дер Варден, Алгебра, второ издание, изд. „Наука“, Москва, 1979, В 20203 – 034/053(02)-79 31 – 79; стр. 98