Уравнение на електромагнитните вълни
За информацията в тази статия или раздел не са посочени източници. Въпросната информация може да е непълна, неточна или изцяло невярна. Имайте предвид, че това може да стане причина за изтриването на цялата статия или раздел. |
![]() | Тази статия се нуждае от подобрение. Необходимо е: уикифициране. Ако желаете да помогнете на Уикипедия, използвайте опцията редактиране в горното меню над статията, за да нанесете нужните корекции. |
Уравнението на електромагнитните вълни е частно диференциално уравнение от втори ред, което описва разпространението на електромагнитните вълни в материална среда или във вакуум.
Това е вълновото уравнение, написано за електрическото поле E или магнитното поле H, което в хомогенната форма има следния вид:
където c е скоростта на светлината в дадената материална среда. Във вакуум c = 2,998×108 m/s, което е и скоростта на светлината в свободно пространство. Уравнението за електромагнитните вълни се извежда от уравненията на Максуел. В линейна, изотропна и бездисперсионна среда магнитното поле B (магнитна индукция [T]) се отнася към H (интензитет на магнитното поле A/m) като:
където μ е магнитната проницаемост на средата
Скорост на разпространение[редактиране | редактиране на кода]
Във вакуум[редактиране | редактиране на кода]
Ако вълновото разпространение е във вакуум, тогава:
- m/s
е скоростта на светлината. Магнитната проницаемост и диелектричната проницаемост са важни физични константи, които играят ключова роля в теорията на електромагнитното поле.
Символ | Име | Числена Стойност | Измервателна единица SI | |
---|---|---|---|---|
Скорост на светлината | m/s | |||
Диелектрична константа | F/m | |||
Магнитна проницаемост във вакуум | H/m |
В материална среда[редактиране | редактиране на кода]
За целите на настоящата статия, се допуска, че всички материали са линейни, изотропни и бездисперсионни. В този смисъл, скоростта на светлината в материална среда е:
където
е коефициент на пречупване на средата, е магнитната проницаемост на средата и е диелектричната проницаемост на последната.
Произход на електромагнитното уравнение[редактиране | редактиране на кода]
Запазване на заряда[редактиране | редактиране на кода]
Запазването на заряда изисква времето за промяна на пълния заряд намиращ се в обем Vда бъде равно на пълния ток течащ през повърхността S обхващаща обема:
където J е токовата плътност [A/m2] течаща през повърхнината, а ρ е плътността на заряда [C/m3] във всяка точка от обема. От теоремата за дивергенцията, тази зависимост се преобразува от интегрална в диференциална форма:
Закон на Ампер преди корекцията на Максуел[редактиране | редактиране на кода]
В своята оригинална форма, законът на Ампер (единици SI) е зависимостта на магнитното поле H и източника на полето, токовата плътност J:
Отново може да се преобразува до диференциална форма, прилагайки Теоремата на Стокс:
Разглеждане на Максуел[редактиране | редактиране на кода]
Джеймс Клерк Максуел, който обединява законите за електричеството и магнетизма, открива важно несъответствие между закона на Ампер и закона за запазване на заряда.
Ако се вземе дивергенцията от двете страни на закона на Ампер, се получава:
Дивергенцията на ротация на което и да е векторно поле –, в случая магнитното поле H – е винаги равна на нула:
Комбинирайки тези две уравнения се получава:
От закона за запазване на заряда се знае:
Този последен резултат подсказва, че пълната плътност на заряда в която и да е точка в пространството е константа, която изобщо не може да се променя, което разбира се е абсурдно. Не само този резултат е в противоречие на физическата интуиция, той е в противоречие и с хиляди емпирични резултати от хиляди лабораторни експерименти. Тази зависимост изисква не само запазване на заряда, но и че последния не може да бъде преразпределен от едно място към друго. Но от друга страна е известно, че електрическите токове могат и преразпределят електрическия заряд. Така последният резултат е некоректен. Нещо очевидно липсва в закона на Ампер и Максуел открива, че е необходима корекция.
За да се разбере Максуеловата корекция на закона на Ампер, трябва да се разгледа друго от уравненията на Максуел, а именно законът на Гаус в интегрална форма:
Чрез отново използване на теоремата за дивергенцията, уравнението може да се преобразува до диференциална форма:
Чрез диференциране по времето от двете страни се получава:
При смяна на местата на производните от лявата страна се получава:
Последният резултат заедно със закона на Ампер и уравнението за запазване на заряда, предполага два вида източници на магнитното поле: токовата плътност J, както Ампер вече е установил и така наречения ток от промяна на електрическата индукция във времето:
Така коригираната от Максуел форма на закона на Ампер има вида:
Максуел открива, че светлината е електромагнитна вълна[редактиране | редактиране на кода]
Корекцията на Максуел на закона на Ампер подготвя едно сензационно за времето си откритие. Максуел осъзнава, че уравненията за електромагнетизма предполагат че електрическото и магнитно полета могат да се разпространяват в космоса – тоест, при отсъствието на материя – като електромагнитни вълни и още, че скоростта на тези вълни е точно скоростта на светлината. Уповавайки се на откритието си в 1865, Максуел пише:
- Тази скорост е толкова близка до скоростта на светлината, че изглежда имаме сериозна причина да заключим, че самата светлина... е електромагнитно смущение във формата на вълни, разпространяващи се посредством електромагнитното поле и според законите за електромагнитното поле.
При получаването на електромагнитни вълни във вакуум, се записват следните Максуелови уравнения:
Ако се приложи ротация на уравненията с ротация се получава:
Ако се има предвид вектора: ,
се получават вълновите уравнения
където
- m/s
е скоростта на светлината във вакуум.
Нехомогенно вълново уравнение[редактиране | редактиране на кода]
Локализирани променливи във времето плътности на заряда и тока могат да действат като източници на електромагнитни вълни във вакуум. Уравненията на Максуел могат да бъдат написани във формата на вълново уравнение с източници. Прибавянето на източници към вълновите уравнения прави частните диференциални уравнения нехомогенни.
Система SI[редактиране | редактиране на кода]
Уравненията на Максуел във вакуум с източници от заряд и ток могат да се запишат във вид на векторни и скаларни потенциали като:
където
и
- .
Ако се допусне, че е в сила уравнението на Л.Лоренц:
тогава за нехомогенните вълнови уравнения се записва:
- .
Решения на хомогенното вълново уравнение[редактиране | редактиране на кода]
Общото решение на уравненивто има следната форма:
и
за всяка непрекъсната и диференцируема функция g на безразмерен аргумент φ, където
- е ъгловата скорост (в rad/s), и
- е вълновият вектор (в rad/m).
Въпреки че функцията g може да бъде и често е монохроматична синусоидална вълна, тя не трябва да бъде синусоидална и дори периодична. На практика g не може да има безкрайна периодичност, тъй като всяка реална електромагнитна вълна трябва да има крайно протежение в пространството и времето. Като резултат от това и базирайки се на Трансформацията на Фурие, една реална вълна трябва да се състои от наслагването (суперпозицията) на безкраен брой хармоници.
Още повече, за намиране на приемливо решение, вълновият вектор и ъгловата честота не могат да бъдат независими една от друга променливи. Те трябва да спазват дисперсионната зависимост:
където k е числото на вълната и λ е дължината на вълната.
Монохроматична синусоидална стационарна вълна[редактиране | редактиране на кода]
Най-проста форма решения на вълновото уравнение се получават от допускането за синусоидални вълни на една честота в разделена форма:
където
- е имагинерната единица,
- е ъгловата скорост в rad/s,
- e честотата в Hz, и
- е формулата на Ойлер.
Решения за плоски вълни[редактиране | редактиране на кода]
Разглежда се равнина определена от единичен нормален вектор
- .
Решенията за разпространяваща се планарна вълна са
и
където
- е пространствения вектор [m].
Тези решения представят планарни вълни, разпространяващи се по посока на нормалния вектор .
Ако посоката z се дефинира като посока на и посоката (координатната ос) x като посока на , тогава според закона на Фарадей магнитното поле лежи по посока на y и е свързано с електрическото поле чрез отношението:
- .
Поради факта, че дивергенцията на електрическото и магнитно полета е нула, няма полета по посоката на разпространение.
Това решение касае вълновите уравнения с линейна поляризация. В този смисъл съществуват и решения с кръгова поляризация, при която полетата се въртят около нормалния вектор.
Разлагане в спектър[редактиране | редактиране на кода]
Поради линейността на уравненията на Максуел във вакуум, решенията могат да се разложат в суперпозиция на хармоници. Това е принципа на използването на метода с преобразование на Фурие за решаването на диференциални уравнения. Хармоничното решение на електромагнитно-вълновото уравнение има формата:
и
Електромагнитният спектър е диаграма на големината на интензитета на полето (или енергията на полето) във функция на дължината на вълната.